Ce QCM vérifie la maîtrise du calcul différentiel dans les espaces normés de dimension finie en Maths Spé MP : différentielle, dérivées partielles, matrice jacobienne, gradient, règle de la chaîne et espace tangent. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Calcul différentiel dans les espaces normés du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Calcul différentiel - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quand dit-on que \(f : U \to F\) (\(U\) ouvert d’un espace normé de dimension finie) est différentiable en \(a \in U\) ?
ASi \(f\) admet des dérivées partielles en \(a\) dans une base
BS’il existe \(L\) linéaire telle que \(f(a+h) = f(a) + L(h) + O(\|h\|)\)
CS’il existe \(L\) linéaire telle que \(f(a+h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)\)
DSi \(f\) admet en \(a\) une dérivée selon tout vecteur \(v\)
Question 2
Soit \(f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\). Que peut-on dire en \((0,0)\) ?
A\(f\) est continue en \((0,0)\) et de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\)
B\(f\) est différentiable en \((0,0)\), de différentielle nulle car ses dérivées partielles y sont nulles
C\(f\) n’admet pas de dérivées partielles en \((0,0)\), car elle n’y est pas continue
D\(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\), mais n’y est pas différentiable
Question 3
Quelle est la matrice jacobienne de \(f(x,y) = (xy^2,\, x + y)\) au point \((1,2)\) ?
A\(\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\)
Question 4
Sur \(\mathbb{R}^n\) euclidien usuel, quel est le gradient de \(f : x \mapsto \langle Ax, x \rangle\), où \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est quelconque ?
A\(\nabla f(x) = 2Ax\)
B\(\nabla f(x) = Ax\)
C\(\nabla f(x) = A^T x\)
D\(\nabla f(x) = (A + A^T)x\)
Question 5
Quelle est la différentielle en \(A \in GL_n(\mathbb{R})\) de l’application \(M \mapsto M^{-1}\) ?
A\(H \mapsto A^{-1}HA^{-1}\)
B\(H \mapsto -A^{-1}HA^{-1}\)
C\(H \mapsto -HA^{-2}\)
D\(H \mapsto -A^{-2}H\)
Question 6
Quelle est la différentielle de \(\det\) en \(I_n\) ?
A\(H \mapsto \det(H)\)
B\(H \mapsto 1 + \mathrm{tr}(H)\)
C\(H \mapsto \mathrm{tr}(H)\)
D\(H \mapsto n\,\mathrm{tr}(H)\)
Question 7
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) et \(g(t) = f(t^2, e^t)\). Que vaut \(g'(t)\) ?
Soit \(f\) différentiable sur un ouvert \(U\) avec \(df(x) = 0\) pour tout \(x \in U\). Que peut-on en conclure ?
A\(f\) est constante si \(U\) est connexe par arcs
B\(f\) est constante sur \(U\), quel que soit l’ouvert \(U\)
C\(f\) est affine sur \(U\), sans être forcément constante
D\(f\) n’est constante que si \(U\) est convexe
Question 9
Quelle est l’équation du plan affine tangent à la sphère \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\) au point \((1,1,1)\) ?
A\(2x + 2y + 2z = 3\)
B\(x + y + z = 3\)
C\(x + y + z = \sqrt{3}\)
D\(x + y + z = 1\)
Question 10
Soit \(X = \{ x \in U : g(x) = 0 \}\) avec \(g : U \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\), et \(x \in X\) tel que \(dg(x) \neq 0\). Que vaut l’espace tangent \(T_x X\) ?
A\(\{0\}\), car \(X\) est d’intérieur vide
B\(\operatorname{Im} dg(x)\)
C\(\ker dg(x)\)
D\(\mathbb{R}\,\nabla g(x)\)
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de calcul différentiel en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition de la différentielle \(df(a)\) par un développement limité d’ordre \(1\) ;
le lien entre différentielle, dérivées partielles et matrice jacobienne ;
le gradient d’une fonction numérique sur un espace euclidien ;
la règle de la chaîne et la différentielle d’applications matricielles (\(\det\), inverse) ;
l’espace tangent à une ligne de niveau : \(T_x X = \ker dg(x)\).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que l’existence des dérivées partielles en un point entraîne la différentiabilité. \(f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\), prolongée par \(0\), a des dérivées partielles nulles en \((0,0)\) mais n’y est même pas continue.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour différentier une application matricielle, écrivez \(f(A + H)\), développez, et isolez le terme linéaire en \(H\) ; le reste doit être un \(o(\|H\|)\). Attention à l’ordre des facteurs : les matrices ne commutent pas. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Comment prouver qu’une fonction est de classe \(C^1\) sans passer par la définition ?
Il suffit que ses dérivées partielles dans une base existent et soient continues sur l’ouvert : la fonction est alors \(C^1\), donc différentiable.
Quelle différence entre dérivée selon un vecteur et différentielle ?
La dérivée selon \(v\) ne regarde qu’une direction. Si \(f\) est différentiable en \(a\), toutes existent et \(D_v f(a) = df(a)(v)\) ; mais l’existence de toutes les dérivées directionnelles ne suffit pas à la différentiabilité.
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «calcul différentiel : QCM de maths spé» au format PDF.
