Corrigé du contrôle de maths CM2 : multiples, diviseurs et divisibilité

Exercice 1 : Divisible par 2, par 5 ou par 10 (4 points)

1. Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; par 10 si son chiffre des unités est 0.
   

   Nombre	340	725	1 008	96	5 555	2 370
   Divisible par 2	oui	non	oui	oui	non	oui
   Divisible par 5	oui	oui	non	non	oui	oui
   Divisible par 10	oui	non	non	non	non	oui

   Seuls 340 et 2 370 sont divisibles à la fois par 2, par 5 et par 10.

2. Pour être divisible par 2 et par 5, le nombre doit finir par 0 : 470. Pour être divisible par 5 sans l’être par 2, il doit finir par 5 (et pas par 0) : 135.
   Les chiffres cachés sont 0 (470) et 5 (135).

Barème : a) 0,5 point par colonne entièrement juste ; b) 0,5 point par chiffre trouvé.

Erreur fréquente : dire que 1 008 est divisible par 10 parce qu’il contient des zéros. Seul le chiffre des unités compte : ici c’est 8.

Exercice 2 : Diviseur ou pas (4 points)

1. \(7 \times 9 = 63\) : vrai, 7 est un diviseur de 63.
   \(4 \times 12 = 48\) et \(4 \times 13 = 52\) : 50 n’est pas dans la table de 4 (\(50 = 4 \times 12 + 2\)). Faux.
   \(7 \times 13 = 91\) : vrai, 91 est un multiple de 7.
   \(6 \times 14 = 84\) : vrai, 6 est un diviseur de 84.
   \(8 \times 12 = 96\) et \(8 \times 13 = 104\) : \(100 = 8 \times 12 + 4\), le reste n’est pas nul. Faux.
   \(3 \times 19 = 57\) : vrai, 3 est un diviseur de 57.
2. Les multiples de 9 sont 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, etc. Entre 50 et 80, on trouve 54, 63 et 72.
   Trois multiples de 9 entre 50 et 80 : 54 ; 63 ; 72.

Barème : a) 0,5 point par affirmation (0,25 point pour « vrai » ou « faux », 0,25 point pour la justification) ; b) 1 point pour les trois multiples.

Erreur fréquente : répondre « faux » pour 91, qui « ressemble » à un nombre premier. On vérifie : \(7 \times 13 = 70 + 21 = 91\).

Exercice 3 : La liste des diviseurs (4 points)

1. On cherche les produits égaux à 24 : \(1 \times 24\) ; \(2 \times 12\) ; \(3 \times 8\) ; \(4 \times 6\). 5 ne divise pas 24, et après 6 on retrouve des diviseurs déjà écrits.
   Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
2. \(1 \times 30\) ; \(2 \times 15\) ; \(3 \times 10\) ; \(5 \times 6\). 4 ne divise pas 30, et après 5 on retrouve 6.
   Les diviseurs de 30 sont 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.
3. On garde les nombres présents dans les deux listes.
   Les diviseurs communs à 24 et à 30 sont 1, 2, 3 et 6 ; le plus grand est 6.

Barème : a) 1,5 point pour la liste complète, 0,5 point retiré par diviseur oublié ou en trop ; b) même répartition ; c) 0,5 point pour la liste, 0,5 point pour 6.

Exercice 4 : Des jetons en rangées égales (4 points)

1. Il y a 4 rangées de 6 jetons. \(4 \times 6 = 24\).
2. Le nombre de rangées doit être un diviseur de 24, différent de 1 et de 24 : 2, 3, 4, 6, 8 ou 12.
   2 rangées de 12 ; 3 rangées de 8 ; 4 rangées de 6 (la figure) ; 6 rangées de 4 ; 8 rangées de 3 ; 12 rangées de 2.
   Il y a 6 rangements possibles en tout, dont 5 autres que celui de la figure.
3. Les seuls diviseurs de 29 sont 1 et 29 : 29 n’est dans aucune table de 2 à 9 (par exemple \(29 = 2 \times 14 + 1\), \(29 = 3 \times 9 + 2\), \(29 = 5 \times 5 + 4\)). On ne peut faire qu’une seule rangée de 29 ou 29 rangées de 1.
   Non, Adam ne peut pas ranger ses 29 jetons en rangées égales.
4. Le nombre de paquets doit être à la fois un diviseur de 18 et un diviseur de 30. Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Diviseurs de 30 : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6. Le plus grand est 6.
   \(18 : 6 = 3\) et \(30 : 6 = 5\).
   Elle peut faire au plus 6 paquets, contenant chacun 3 crayons rouges et 5 crayons bleus.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point pour la liste des rangements, 0,5 point pour le nombre 6 ; c) 0,5 point pour « non », 0,5 point pour la justification ; d) 0,5 point pour 6 paquets, 0,5 point pour le contenu d’un paquet.

Exercice 5 : Les bus de la gare routière (4 points)

1. Multiples de 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.
   Multiples de 9 : 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54.
   Ce sont les nombres de minutes après 8 h 00 où part un bus de chaque ligne.
2. On garde les nombres présents dans les deux listes (en dehors de 0).

   

   Les multiples communs sont 18, 36 et 54.

3. Le plus petit multiple commun non nul est 18 : \(8 \text{ h } 00 + 18 \text{ min}\).
   Les deux bus repartiront ensemble à 8 h 18.
4. Ils partent ensemble 18, 36 et 54 minutes après 8 h 00, c’est-à-dire à 8 h 18, 8 h 36 et 8 h 54. Le suivant serait 72 minutes après 8 h 00, soit 9 h 12, trop tard.
   Ils partent ensemble 3 fois.
5. Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, etc. Multiples de 6 : 6, 12, 18, etc. Le premier multiple commun est 12.
   Les bus des lignes A et C repartent ensemble à 8 h 12.

Barème : a) 0,5 point par liste ; b) 1 point pour les trois multiples communs (0,5 point s’il en manque un) ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point ; e) 0,5 point pour les listes, 0,5 point pour 8 h 12.

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Après le corrigé du contrôle : multiples, diviseurs et divisibilité

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