Corrigé du contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et trigonométrie

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. Pour l’angle \(\widehat{ABC}\), le côté adjacent est \([AB]\) et l’hypoténuse est \([BC]\) : \(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}\).
2. Pour l’angle \(\widehat{ACB}\), le côté opposé est \([AB]\) et le côté adjacent est \([AC]\) : \(\tan \widehat{ACB} = \dfrac{AB}{AC}\).
3. \(\cos 60^\circ = 0{,}5\), soit \(\dfrac{1}{2}\).
4. La calculatrice donne \(\sin^{-1}(0{,}5) = 30\) : \(x = 30^\circ\).
5. \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\).
6. \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{MN}{10}\), donc \(MN = \dfrac{3 \times 10}{12} = 2{,}5\) : \(MN = 2{,}5\text{ cm}\).
7. Côté opposé \(= 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0{,}5\) : \(5\text{ cm}\).
8. \(\tan 35^\circ \approx 0{,}7002\) : \(\tan 35^\circ \approx 0{,}70\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte, soit 8 × 0,5 = 4 points.

Exercice 2 : Une configuration papillon (3 points)

Les droites \((MB)\) et \((NC)\) sont sécantes en \(A\), et les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{3{,}6}{AC} = \dfrac{MN}{7{,}5}\).

1. \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{3{,}6}{AC}\), donc \(AC = \dfrac{3{,}6 \times 6}{4} = \dfrac{21{,}6}{4} = 5{,}4\).
   \(AC = 5{,}4\text{ cm}\).
2. \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{MN}{7{,}5}\), donc \(MN = \dfrac{4 \times 7{,}5}{6} = \dfrac{30}{6} = 5\).
   \(MN = 5\text{ cm}\).

Erreur fréquente : écrire \(\dfrac{AM}{MB}\) au lieu de \(\dfrac{AM}{AB}\). Dans chaque rapport, on compare les longueurs du petit triangle \(AMN\) à celles du grand triangle \(ABC\), toutes mesurées depuis \(A\).

Barème : 1 point pour les hypothèses et l’égalité des rapports (réparti 0,5 + 0,5 entre a et b) ; a) 1 point pour le produit en croix et le résultat ; b) 1 point pour le produit en croix et le résultat.

Exercice 3 : Droites parallèles ou non (3 points)

1. \(\dfrac{OE}{OF} = \dfrac{2{,}8}{4{,}2} = \dfrac{2}{3}\) et \(\dfrac{OG}{OH} = \dfrac{3{,}6}{5{,}4} = \dfrac{2}{3}\).
   On a donc \(\dfrac{OE}{OF} = \dfrac{OG}{OH}\). De plus, les points \(O\), \(E\), \(F\) et \(O\), \(G\), \(H\) sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \((EG)\) et \((FH)\) sont parallèles.
2. \(\dfrac{OE}{OF} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667\) et \(\dfrac{OG}{OH} = \dfrac{3{,}6}{5{,}5} \approx 0{,}655\).
   On peut aussi comparer les produits en croix : \(2{,}8 \times 5{,}5 = 15{,}4\) et \(4{,}2 \times 3{,}6 = 15{,}12\).
   Donc \(\dfrac{OE}{OF} \neq \dfrac{OG}{OH}\). Or si les droites étaient parallèles, ces rapports seraient égaux d’après le théorème de Thalès. Les droites \((EG)\) et \((FH)\) ne sont pas parallèles.

Erreur fréquente : conclure « non parallèles » en comparant des valeurs trop arrondies, ou oublier de vérifier l’ordre des points dans la réciproque.

Barème : a) 0,5 point par quotient calculé (1 point), 0,5 point pour la conclusion avec la réciproque et l’ordre des points ; b) 0,5 point pour le calcul du second quotient, 0,5 point pour la comparaison, 0,5 point pour la conclusion justifiée.

Exercice 4 : L’échelle et la rampe (4 points)

1. Dans le triangle \(PBT\) rectangle en \(B\), \([BT]\) est le côté opposé à l’angle \(\widehat{BPT}\) et \([PT]\) l’hypoténuse :
   \(\sin \widehat{BPT} = \dfrac{BT}{PT}\), soit \(\sin 70^\circ = \dfrac{BT}{5}\).
   \(BT = 5 \times \sin 70^\circ \approx 4{,}698\).
   L’échelle touche le mur à environ \(4{,}70\text{ m}\) de hauteur.
2. \([PB]\) est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{BPT}\) :
   \(\cos 70^\circ = \dfrac{PB}{5}\), donc \(PB = 5 \times \cos 70^\circ \approx 1{,}710\).
   Le pied de l’échelle est à environ \(1{,}71\text{ m}\) du mur.
3. Dans le triangle \(RSU\) rectangle en \(S\), on connaît le côté opposé \(SU\) et le côté adjacent \(RS\) à l’angle \(\widehat{SRU}\) :
   \(\tan \widehat{SRU} = \dfrac{SU}{RS} = \dfrac{0{,}5}{8} = 0{,}0625\).
   \(\widehat{SRU} = \tan^{-1}(0{,}0625) \approx 3{,}58^\circ\).
   La rampe fait un angle d’environ \(3{,}6^\circ\) avec l’horizontale.

Erreur fréquente : calculatrice réglée en radians ou en grades : \(\sin 70\) donne alors une valeur fausse (par exemple \(0{,}77\) au lieu de \(0{,}94\)).

Barème : a) 0,5 point pour le choix du sinus, 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour l’arrondi avec l’unité ; b) 0,5 point pour le cosinus, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la tangente, 0,5 point pour le calcul de l’angle, 0,5 point pour l’arrondi.

Exercice 5 : Le parcours de course (6 points)

1. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
   \(AC^2 = 1\,200^2 + 500^2 = 1\,440\,000 + 250\,000 = 1\,690\,000\)
   \(AC = \sqrt{1\,690\,000} = 1\,300\)
   \(AC = 1\,300\text{ m}\).
2. Les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite \((AB)\). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles.
3. Les points \(A\), \(D\), \(B\) et \(A\), \(E\), \(C\) sont alignés, et les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{480}{1\,200} = \dfrac{AE}{1\,300} = \dfrac{DE}{500}\).
   \(\dfrac{480}{1\,200} = 0{,}4\), donc \(DE = 0{,}4 \times 500 = 200\) et \(AE = 0{,}4 \times 1\,300 = 520\).
   \(DE = 200\text{ m}\) et \(AE = 520\text{ m}\).
4. Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\) :
   \(\tan \widehat{BAC} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{500}{1\,200}\), donc \(\widehat{BAC} = \tan^{-1}(\dfrac{500}{1\,200}) \approx 22{,}6^\circ\).
   \(\widehat{BAC} \approx 23^\circ\).
5. Grand parcours : \(AB + BC + CA = 1\,200 + 500 + 1\,300 = 3\,000\text{ m}\).
   Petit parcours : \(AD + DE + EA = 480 + 200 + 520 = 1\,200\text{ m}\).
   \(3\,000 : 1\,200 = 2{,}5\).
   Le grand parcours mesure \(3\,000\text{ m}\), le petit \(1\,200\text{ m}\) : il faut faire \(2{,}5\) tours du petit parcours pour courir un tour du grand.

Erreur fréquente : en d), utiliser \(\dfrac{500}{1\,300}\) avec la tangente. Le quotient \(\dfrac{BC}{AC}\) est le sinus de l’angle ; il donne aussi \(\widehat{BAC} \approx 23^\circ\) si l’on prend la bonne fonction.

Barème : a) 0,5 point pour le triangle rectangle et l’égalité de Pythagore, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour les deux perpendiculaires, 0,5 point pour la propriété citée ; c) 0,5 point pour les hypothèses et l’égalité des rapports, 0,5 point par longueur ; d) 0,5 point pour la formule trigonométrique, 0,5 point pour l’arrondi ; e) 0,5 point pour les deux longueurs, 0,5 point pour le nombre de tours.

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Après le corrigé du contrôle : théorème de Thalès et trigonométrie

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