Corrigé du contrôle de maths 2de : proportions, évolutions et tableaux croisés

Exercice 1 : Automatismes sur les pourcentages (4 points)

1. On prend 30 % de 40 % : \(0{,}3 \times 0{,}4 = 0{,}12\). Donc 12 % des habitants sont des étudiants de moins de 30 ans.
2. \(\dfrac{45}{180} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\). Ainsi, 45 représente 25 % de 180.
3. \(1 – \dfrac{15}{100} = 0{,}85\). Le coefficient multiplicateur est donc 0,85.
4. \(1{,}035 = 1 + \dfrac{3{,}5}{100}\). C’est donc une hausse de 3,5 %.
5. Le coefficient global est \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\), et \(0{,}96 = 1 – \dfrac{4}{100}\). Par conséquent, le prix ne revient pas à sa valeur de départ : il a baissé de 4 % au total.
6. Le prix initial \(P\) vérifie \(P \times 0{,}8 = 80\), donc \(P = \dfrac{80}{0{,}8} = 100\). L’article coûtait 100 € avant la remise.

Erreur fréquente : en e), croire qu’une hausse de 20 % et une baisse de 20 % se compensent. En effet, les deux pourcentages ne portent pas sur la même valeur.

Barème : a) 1 point : 0,5 pour le produit, 0,5 pour le résultat ; b), c), d) 0,5 point chacune ; e) 1 point : 0,5 pour le coefficient 0,96, 0,5 pour la conclusion ; f) 0,5 point.

Exercice 2 : Les élèves d’un lycée (4 points)

1. \(1\,200 \times 0{,}45 = 540\). Donc 540 élèves sont en seconde.
2. \(540 \times 0{,}6 = 324\). Ainsi, 324 élèves de seconde sont demi-pensionnaires.
3. La proportion cherchée est un pourcentage de pourcentage : \(0{,}45 \times 0{,}6 = 0{,}27\).

   Vérification : \(\dfrac{324}{1\,200} = 0{,}27\).

   Les secondes demi-pensionnaires représentent donc 27 % des élèves du lycée.

4. Cependant, la population de référence est maintenant celle des 780 demi-pensionnaires : \(\dfrac{324}{780} \approx 0{,}4154\).

   Ainsi, environ 41,5 % des demi-pensionnaires sont en seconde.

Barème : a) 1 point ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 pour le produit des proportions, 0,5 pour le résultat ; d) 1 point : 0,5 pour le bon dénominateur, 0,5 pour l’arrondi.

Exercice 3 : Le prix d’un vélo électrique (5 points)

1. Une hausse de 8 % correspond au coefficient 1,08 : \(1\,250 \times 1{,}08 = 1\,350\). En mars, le vélo coûte donc 1 350 €.
2. Ensuite, une baisse de 20 % correspond au coefficient 0,8 : \(1\,350 \times 0{,}8 = 1\,080\). Pendant les soldes, le vélo coûte donc 1 080 €.
3. Le coefficient global est le produit des coefficients : \(1{,}08 \times 0{,}8 = 0{,}864\).

   Or \(0{,}864 = 1 – 0{,}136\), soit une baisse de 13,6 %.

   Coefficient global : 0,864 ; entre janvier et juillet, le prix a donc baissé de 13,6 %.

4. Le coefficient réciproque est l’inverse du coefficient global : \(\dfrac{1}{0{,}864} \approx 1{,}1574\).

   Vérification : \(\dfrac{1\,250}{1\,080} \approx 1{,}1574\).

   Il faut donc augmenter le prix soldé d’environ 15,7 % pour revenir à 1 250 €.

5. Une baisse de 25 % correspond au coefficient 0,75. Le coefficient réciproque est alors \(\dfrac{1}{0{,}75} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}3333\).

   Par conséquent, l’action doit augmenter d’environ 33,3 % pour retrouver sa valeur initiale.

Erreur fréquente : répondre 13,6 % en d) ou 25 % en e). En effet, l’évolution réciproque n’a pas le même taux, car elle s’applique à une valeur plus petite.

Barème : a) et b) 1 point chacune : 0,5 pour le coefficient, 0,5 pour le prix ; c) 1 point : 0,5 pour le coefficient global, 0,5 pour le taux ; d) 1 point : 0,5 pour l’inverse du coefficient, 0,5 pour le taux arrondi ; e) 1 point : même répartition.

Exercice 4 : Les adhérents d’un club de sport (7 points)

1. D’abord, escalade chez les moins de 18 ans : \(160 – 60 – 45 = 55\). Ensuite, natation chez les 18 ans et plus : \(100 – 60 = 40\). Total des 18 ans et plus : \(300 – 160 = 140\), et on vérifie alors \(40 + 75 + 25 = 140\). Total tennis : \(45 + 75 = 120\). Enfin, total escalade : \(55 + 25 = 80\).
   

   	Natation	Tennis	Escalade	Total
   Moins de 18 ans	60	45	55	160
   18 ans et plus	40	75	25	140
   Total	100	120	80	300

   Contrôle : \(100 + 120 + 80 = 300\).

2. Fréquences marginales : \(\dfrac{120}{300} = 0{,}4\) et \(\dfrac{160}{300} \approx 0{,}53\).

   Donc 40 % des adhérents jouent au tennis, et environ 53 % ont moins de 18 ans.

3. \(\dfrac{55}{300} \approx 0{,}18\). Ainsi, environ 18 % des adhérents ont moins de 18 ans et pratiquent l’escalade.

Questions d, e et f : fréquences conditionnelles

4. Cette fois, la population de référence est celle des 160 adhérents de moins de 18 ans : \(\dfrac{55}{160} = 0{,}34375 \approx 0{,}34\).

   Donc environ 34 % des moins de 18 ans pratiquent l’escalade.

5. Parmi les moins de 18 ans : \(\dfrac{45}{160} = 0{,}28125 \approx 0{,}28\). Parmi les 18 ans et plus : \(\dfrac{75}{140} \approx 0{,}54\).

   Le tennis est pratiqué par environ 54 % des adultes contre 28 % des moins de 18 ans. Il est donc bien plus pratiqué, en proportion, par les adultes.

   En revanche, comparer les effectifs 45 et 75 ne suffisait pas, car les deux groupes n’ont pas la même taille.

6. Chaque barre correspond à un sport et totalise 100 %. Elle montre donc comment les pratiquants de ce sport se répartissent entre les deux tranches d’âge. Par exemple, pour le tennis : \(\dfrac{45}{120} = 0{,}375\), soit 37,5 % de moins de 18 ans parmi les joueurs de tennis.

   Le diagramme représente ainsi la répartition des âges pour chaque sport, c’est-à-dire des fréquences conditionnelles sachant le sport pratiqué.

Erreur fréquente : confondre en d) « parmi les moins de 18 ans » (dénominateur 160) avec « parmi les grimpeurs ». En effet, ce second calcul utilise le dénominateur 80 et donne la fréquence 0,6875.

Barème : a) 1,5 point : 0,25 par case correcte, 0,25 pour la cohérence des totaux ; b) 1 point : 0,5 par fréquence ; c) 0,5 point ; d) 1 point : 0,5 pour le dénominateur 160, 0,5 pour le résultat ; e) 1 point pour les deux fréquences, 0,5 pour la conclusion ; f) 1,5 point : 0,5 pour la réponse, 1 pour le calcul de 37,5 % avec le bon dénominateur.

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Après le corrigé du contrôle : proportions, évolutions et tableaux croisés

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