Corrigé du contrôle de maths 2de : équations, produit nul et équations quotients

Exercice 1 : Équations du premier degré (4 points)

1. \(3x – 7 = 11\) équivaut à \(3x = 18\), soit \(x = 6\).
   \(S = \{6\}\).
2. \(5(x – 2) = 2x + 11\)
   \(5x – 10 = 2x + 11\)
   \(3x = 21\)
   \(x = 7\). Vérification : \(5 \times 5 = 25\) et \(2 \times 7 + 11 = 25\).
   \(S = \{7\}\).
3. On multiplie les deux membres par 12, multiple commun de 3, 2 et 4 :
   \(12 \times \dfrac{x}{3} + 12 \times \dfrac{1}{2} = 12 \times \dfrac{2x – 1}{4}\)
   \(4x + 6 = 3(2x – 1)\)
   \(4x + 6 = 6x – 3\)
   \(9 = 2x\), soit \(x = \dfrac{9}{2}\).
   Vérification : \(\dfrac{4{,}5}{3} + \dfrac{1}{2} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2\) et \(\dfrac{9 – 1}{4} = 2\).
   \(S = \{\dfrac{9}{2}\}\).
4. \(2(x + 3) – 2x = 2x + 6 – 2x = 6\) pour tout réel \(x\).
   La première équation s’écrit \(6 = 6\) : elle est vraie pour tout \(x\). \(S = \mathbb{R}\).
   La seconde s’écrit \(6 = 5\) : elle n’est jamais vraie. \(S = \varnothing\).

Erreur fréquente : à la question c), multiplier seulement le premier terme par 12, ou oublier les parenthèses autour de \(2x – 1\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,5 pour le développement, 0,5 pour la solution ; c) 1,5 point : 0,5 pour la multiplication par 12, 0,5 pour l’équation obtenue, 0,5 pour la solution ; d) 1 point (0,5 par équation).

Exercice 2 : Factoriser pour résoudre (5 points)

Règle utilisée : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

1. \(2x – 3 = 0\) ou \(x + 5 = 0\), soit \(x = \dfrac{3}{2}\) ou \(x = -5\).
   \(S = \{-5 \,;\, \dfrac{3}{2}\}\).
2. \(x^2 = 7x\) équivaut à \(x^2 – 7x = 0\), soit \(x(x – 7) = 0\).
   \(x = 0\) ou \(x – 7 = 0\), soit \(x = 0\) ou \(x = 7\).
   \(S = \{0 \,;\, 7\}\).
3. On reconnaît \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = x + 1\) et \(b = 4\) :
   \((x + 1 – 4)(x + 1 + 4) = 0\), soit \((x – 3)(x + 5) = 0\).
   \(x = 3\) ou \(x = -5\).
   \(S = \{-5 \,;\, 3\}\).
4. On passe tout dans le membre de gauche et on factorise par \(3x – 1\) :
   \((3x – 1)(x + 2) – (3x – 1)(2x – 5) = 0\)
   \((3x – 1)[(x + 2) – (2x – 5)] = 0\)
   \((3x – 1)(-x + 7) = 0\)
   \(3x – 1 = 0\) ou \(-x + 7 = 0\), soit \(x = \dfrac{1}{3}\) ou \(x = 7\).
   \(S = \{\dfrac{1}{3} \,;\, 7\}\).
5. \(4x^2 – 9 = (2x)^2 – 3^2 = (2x – 3)(2x + 3)\).
   \(2x – 3 = 0\) ou \(2x + 3 = 0\), soit \(x = \dfrac{3}{2}\) ou \(x = -\dfrac{3}{2}\).
   \(S = \{-\dfrac{3}{2} \,;\, \dfrac{3}{2}\}\).

Erreur fréquente : en b) ou en d), diviser les deux membres par \(x\) ou par \(3x – 1\). On perd alors une solution (0 ou \(\frac{1}{3}\)), car on ne peut pas diviser par une quantité qui peut être nulle.

Barème : chaque question 1 point : 0,5 pour la factorisation ou la règle du produit nul, 0,5 pour l’ensemble des solutions (0,25 si une seule solution trouvée).

Exercice 3 : Équations du type x² = a (3 points)

Rappel : si \((a > 0)\), l’équation \(x^2 = a\) a deux solutions, \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\) ; si \(a = 0\), une seule solution, 0 ; si \(a < 0\), aucune solution.

1. \((49 > 0)\) et \(\sqrt{49} = 7\).
   \(S = \{-7 \,;\, 7\}\).
2. \((12 > 0)\), donc \(x = \sqrt{12}\) ou \(x = -\sqrt{12}\). Or \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\).
   \(S = \{-2\sqrt{3} \,;\, 2\sqrt{3}\}\).
3. Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir \(-4\).
   \(S = \varnothing\).
4. \(2x^2 – 3 = 15\) équivaut à \(2x^2 = 18\), soit \(x^2 = 9\).
   \(S = \{-3 \,;\, 3\}\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,5 pour les deux solutions, 0,5 pour la simplification \(2\sqrt{3}\) ; c) 0,5 point avec justification ; d) 1 point : 0,5 pour \(x^2 = 9\), 0,5 pour les solutions.

Exercice 4 : Équations quotients (4 points)

Rappel : \(\dfrac{A}{B} = 0\) si et seulement si \(A = 0\) et \(B \neq 0\).

1. Valeur interdite : \(x + 1 = 0\), soit \(x = -1\).
   \(2x – 6 = 0\) donne \(x = 3\), qui n’est pas interdite.
   \(S = \{3\}\).
2. Valeur interdite : \(x = 2\).
   \(x^2 – 4 = 0\) équivaut à \((x – 2)(x + 2) = 0\), soit \(x = 2\) ou \(x = -2\). Or \(2\) est interdite.
   \(S = \{-2\}\).
3. Valeurs interdites : \(x = 1\) et \(x = -4\).
   Pour \(x\) différent de 1 et de \(-4\), l’équation équivaut à \(\dfrac{3}{x – 1} – \dfrac{2}{x + 4} = 0\), soit :
   \(\dfrac{3(x + 4) – 2(x – 1)}{(x – 1)(x + 4)} = 0\), c’est-à-dire \(\dfrac{x + 14}{(x – 1)(x + 4)} = 0\).
   \(x + 14 = 0\) donne \(x = -14\), qui n’est pas interdite. Vérification : \(\dfrac{3}{-15} = -\dfrac{1}{5}\) et \(\dfrac{2}{-10} = -\dfrac{1}{5}\).
   \(S = \{-14\}\).
4. Valeur interdite : \(x = 3\).
   Pour \(x \neq 3\) : \(\dfrac{x + 5}{x – 3} – 2 = \dfrac{x + 5 – 2(x – 3)}{x – 3} = \dfrac{-x + 11}{x – 3}\).
   \(-x + 11 = 0\) donne \(x = 11\), qui n’est pas interdite. Vérification : \(\dfrac{16}{8} = 2\).
   \(S = \{11\}\).

Erreur fréquente : à la question b), donner \(S = \{-2 \,;\, 2\}\). Pour \(x = 2\), le dénominateur est nul et le quotient n’existe pas.

Barème : chaque question 1 point : 0,25 pour la ou les valeurs interdites, 0,5 pour la résolution, 0,25 pour l’ensemble des solutions contrôlé.

Exercice 5 : Deux problèmes à mettre en équation (4 points)

1. Dans \(x\) années, Inès aura \(38 + x\) ans et Noé \(8 + x\) ans.
   L’équation est \(38 + x = 3(8 + x)\).
2. \(38 + x = 24 + 3x\)
   \(14 = 2x\)
   \(x = 7\).
   Vérification : dans 7 ans, Inès aura 45 ans et Noé 15 ans, et \(3 \times 15 = 45\).
   Dans 7 ans, l’âge d’Inès sera le triple de celui de Noé.
3. La longueur du jardin est \(x + 6\), donc son aire est \(x(x + 6) = x^2 + 6x\).
   L’aire vaut 40, donc \(x^2 + 6x = 40\).
   \(x\) est solution de \(x^2 + 6x – 40 = 0\).
4. \((x + 10)(x – 4) = x^2 – 4x + 10x – 40\).
   \((x + 10)(x – 4) = x^2 + 6x – 40\).
5. L’équation s’écrit \((x + 10)(x – 4) = 0\) : \(x = -10\) ou \(x = 4\).
   Une largeur est positive, donc on écarte \(-10\) : \(x = 4\), et la longueur vaut \(4 + 6 = 10\). Vérification : \(4 \times 10 = 40\).
   Le jardin mesure \(4\text{ m}\) de large et \(10\text{ m}\) de long.

Barème : a) 0,5 point ; b) 1 point : 0,5 pour la résolution, 0,25 pour la vérification, 0,25 pour la phrase ; c) 1 point : 0,5 pour l’aire, 0,5 pour l’équation ; d) 0,5 point ; e) 1 point : 0,5 pour les deux solutions, 0,5 pour le rejet de \(-10\) et les dimensions.

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