Corrigé du contrôle de maths 1ère : ensembles, logique et raisonnement

Exercice 1 : Intervalles et ensembles (4 points)

1. Le crochet en \(-3\) est tourné vers l’intérieur : \(-3\) appartient donc à \(K\). En revanche, le crochet en 1 est tourné vers l’extérieur : 1 n’appartient pas à \(K\). \(K = [-3 \,;\, 1[\), et \(x \in K\) signifie \(-3 \leq\, x < 1\).
2. La borne 5 est exclue de \(I\), et \(\pi \approx 3{,}14 > 1\). Donc \(5 \notin I\) ; \(\pi \in J\).
3. On représente d’abord les deux intervalles :

   

   L’intersection contient les réels qui sont à la fois dans \(I\) et dans \(J\). Ainsi, ils sont strictement supérieurs à 1 et strictement inférieurs à 5. \(I \cap J = ]1 \,;\, 5[\).
   Ensuite, la réunion contient les réels qui sont dans \(I\) ou dans \(J\) : tous les réels supérieurs ou égaux à \(-2\). En effet, le réel 5, exclu de \(I\), appartient à \(J\). \(I \cup J = [-2 \,;\, +\infty[\).

4. \(\overline{I}\) contient les réels qui ne sont pas dans \(I\). Ce sont donc ceux strictement inférieurs à \(-2\) et ceux supérieurs ou égaux à 5. \(\overline{I} = ]-\infty \,;\, -2[ \cup [5 \,;\, +\infty[\).
5. \(-3 \in K\) mais \(-3 < -2\), donc \(-3 \notin I\). Un élément de \(K\) n’est pas dans \(I\) : ce contre-exemple suffit. L’affirmation « \(K \subset I\) » est donc fausse.

Barème : a) 0,25 point pour l’intervalle, 0,25 point pour l’encadrement. Puis b) 0,25 point par symbole. Ensuite, c) 0,75 point pour l’intersection, 0,75 point pour la réunion (0,25 point retiré par crochet mal orienté). Enfin, d) 0,5 point ; e) 0,5 point pour la réponse, 0,5 point pour le contre-exemple.

Erreur fréquente : écrire \(I \cup J = [-2 \,;\, 5[ \cup ]1 \,;\, +\infty[\) sans simplifier. Autre piège : oublier que 5 appartient à \(J\) et répondre \([-2 \,;\, 5[ \cup ]5 \,;\, +\infty[\).

Exercice 2 : Sport et musique (4 points)

1. 7 élèves sont dans \(S \cap M\). Seulement sport : \(18 – 7 = 11\) élèves. Seulement musique : \(12 – 7 = 5\) élèves. Enfin, ni l’un ni l’autre : \(30 – (11 + 7 + 5) = 30 – 23 = 7\) élèves.

   

   Les quatre zones contiennent donc 11, 7, 5 et 7 élèves.

2. \(S \cup M\) est l’ensemble des élèves qui pratiquent un sport ou un instrument (au moins l’un des deux). Son nombre d’éléments est \(11 + 7 + 5 = 23\), ou encore \(18 + 12 – 7 = 23\). Ainsi, 23 élèves pratiquent au moins une des deux activités.
3. \(\overline{S \cup M}\) est l’ensemble des élèves qui ne pratiquent ni sport ni instrument. \(30 – 23 = 7\). Donc 7 élèves ne pratiquent aucune des deux activités.
4. Ces élèves sont dans \(M\) et dans le complémentaire de \(S\) : c’est l’ensemble \(M \cap \overline{S}\). Son nombre d’éléments est \(12 – 7 = 5\). \(M \cap \overline{S}\) contient 5 élèves.

Barème : a) 0,25 point par zone. Puis b), c) et d) : 0,5 point pour la description ou l’écriture ensembliste, 0,5 point pour l’effectif.

Erreur fréquente : calculer \(18 + 12 = 30\) élèves dans \(S \cup M\). En effet, les 7 élèves qui font les deux activités sont alors comptés deux fois.

Exercice 3 : Propositions, négations et implications (5 points)

1. La négation de « pour tout élève, … » est « il existe un élève qui ne … pas ». « Il existe au moins un élève de la classe qui n’a pas de téléphone portable. »
2. La négation de « A et B » est « non A ou non B ». Or la négation de \(x > 2\) est \(x \leq\, 2\), celle de \(x \leq\, 5\) est \(x > 5\). La négation est donc : « \(x \leq\, 2\) ou \(x > 5\) ».
3. • Si \(n\) est un multiple de 6, il existe un entier \(k\) tel que \(n = 6k = 2 \times (3k)\). Comme \(3k\) est un entier, \(n\) est pair. Ainsi, \(P\) est vraie.
   • Réciproque : « Si un entier \(n\) est pair, alors \(n\) est un multiple de 6. » Contre-exemple : 4 est pair, mais 4 n’est pas un multiple de 6. La réciproque est donc fausse.
   • Contraposée : « Si un entier \(n\) n’est pas pair (donc est impair), alors \(n\) n’est pas un multiple de 6. » Or une proposition et sa contraposée sont toujours vraies ou fausses en même temps. La contraposée est vraie, comme \(P\).
4. Pour \(x = \frac{1}{2}\) : \(x^2 = \frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{4} < \frac{1}{2}\), donc \(x^2 < x\). Un seul contre-exemple suffit à réfuter une proposition commençant par « pour tout ». Lucas a donc tort.

Barème : a) 1 point (0,5 point si « aucun élève n’a de téléphone »). Puis b) 0,5 point pour le connecteur « ou », 0,5 point pour les deux inégalités niées. Ensuite, c) 0,5 point pour la preuve de \(P\), 0,5 point pour l’énoncé de la réciproque et 0,5 point pour le contre-exemple, 0,5 point pour la contraposée et sa valeur de vérité. Enfin, d) 1 point pour un contre-exemple vérifié.

Erreur fréquente : écrire « Aucun élève n’a de téléphone » comme négation de « Tous les élèves ont un téléphone ». En effet, il suffit qu’un seul élève n’en ait pas pour que la proposition soit fausse.

Exercice 4 : Un raisonnement par disjonction de cas (3 points)

1. Soit \(n\) un entier. Tout entier est pair ou impair : on étudie donc les deux cas.
   • Cas 1 : \(n\) est pair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k\). Alors \(n(n + 1) = 2k(2k + 1) = 2 \times [k(2k + 1)]\), avec \(k(2k + 1)\) entier : \(n(n + 1)\) est pair.
   • Cas 2 : \(n\) est impair. Il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\). Alors \(n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)\). Ainsi, \(n(n + 1) = 2 \times [(2k + 1)(k + 1)]\), avec \((2k + 1)(k + 1)\) entier : \(n(n + 1)\) est pair.

   Dans tous les cas, \(n(n + 1)\) est pair pour tout entier \(n\).

2. \(n^2 + 3n + 1 = n^2 + n + 2n + 1 = n(n + 1) + 2n + 1\).
   D’après a, \(n(n + 1)\) est pair : il s’écrit \(2m\) avec \(m\) entier. Donc \(n^2 + 3n + 1 = 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1\), avec \(m + n\) entier. \(n^2 + 3n + 1\) est impair pour tout entier \(n\).

Barème : a) 0,25 point pour l’annonce des deux cas, 0,75 point par cas correctement traité, 0,25 point pour la conclusion. Puis b) 0,5 point pour la décomposition faisant apparaître \(n(n + 1)\), 0,5 point pour la conclusion justifiée.

Erreur fréquente : vérifier la propriété sur quelques valeurs (\(n = 1, 2, 3\)) et conclure. Or des exemples ne prouvent pas une propriété vraie « pour tout \(n\) ».

Exercice 5 : La racine carrée de 2 (4 points)

1. Si \(n\) est impair, \(n = 2k + 1\) avec \(k\) entier. Alors \(n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\), avec \(2k^2 + 2k\) entier : \(n^2\) est impair.
   La contraposée de « si \(n\) est impair, alors \(n^2\) est impair » est : « si \(n^2\) est pair, alors \(n\) est pair », qui est donc vraie.
2. \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), donc en élevant au carré \(2 = \frac{p^2}{q^2}\), d’où \(p^2 = 2q^2\).
3. \(p^2 = 2q^2\) avec \(q^2\) entier, donc \(p^2\) est pair. D’après la propriété obtenue en a, \(p\) est pair.
   En remplaçant \(p\) par \(2k\) : \((2k)^2 = 2q^2\), soit \(4k^2 = 2q^2\), donc \(q^2 = 2k^2\). Ainsi \(q^2\) est pair, et toujours d’après a, \(q\) est pair.
4. \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs : ils ont 2 comme diviseur commun. Donc la fraction \(\frac{p}{q}\) peut être simplifiée par 2. Cela contredit l’hypothèse « \(\frac{p}{q}\) est irréductible ». L’hypothèse de départ est donc fausse. \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel.

Barème : a) 0,5 point pour le calcul de \(n^2\), 0,5 point pour la contraposée. Puis b) 0,5 point. Ensuite, c) 0,5 point pour la parité de \(p\) avec la propriété citée, 0,5 point pour \(q^2 = 2k^2\), 0,5 point pour la parité de \(q\). Enfin, d) 0,5 point pour la contradiction nommée, 0,5 point pour la conclusion.

Erreur fréquente : conclure directement « \(p^2\) est pair donc \(p\) est pair » sans citer la propriété démontrée en a. En effet, c’est précisément elle qui justifie ce passage.

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