Ce contrôle de maths spé porte sur le thème suivant : fonctions vectorielles, dérivation et Taylor.
Ce devoir surveillé de deux heures porte sur les fonctions vectorielles d’une variable réelle, à valeurs dans un espace de dimension finie. La question de cours vous fait démontrer la dérivée d’une expression bilinéaire, puis l’appliquer au produit scalaire.
Vous dériverez ensuite un déterminant colonne par colonne et relierez sa dérivée en l’identité à la trace. Le troisième exercice traite l’inégalité des accroissements finis, qui remplace l’égalité, fausse en dimension supérieure, ainsi qu’une somme de Riemann vectorielle. Le dernier exercice établit la formule de Taylor avec reste intégral et en tire l’inégalité de Landau. Le calcul différentiel à plusieurs variables n’intervient pas.
- Niveau : maths spé (MP)
- Chapitre : Fonctions vectorielles d’une variable réelle
- Durée conseillée : 2 heures
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 5 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 6 points)
- Compétences évaluées :
- Raisonner : démontrer la règle de dérivation d’une expression bilinéaire et la formule de Taylor
- Calculer : dériver un déterminant colonne par colonne et une norme euclidienne au carré
- Chercher : choisir un pas optimal pour majorer une dérivée à partir de la fonction et de sa dérivée seconde
- Communiquer : justifier chaque passage d’une fonction réelle à une fonction à valeurs dans R^n
Exercice 1 : Question de cours : dérivée d’une expression bilinéaire (4 points)
Calculatrice interdite.
Soit \(E\), \(F\), \(G\) trois espaces vectoriels normés de dimension finie, \(B : E \times F \to G\) une application bilinéaire, \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), et \(f : I \to E\), \(g : I \to F\) deux fonctions dérivables sur \(I\).
- Énoncez et démontrez la formule donnant la dérivée de \(t \mapsto B(f(t), g(t))\). On admettra que \(B\) est continue et qu’il existe \(K \geq\, 0\) tel que \(\|B(x,y)\| \leq\, K \|x\|\,\|y\|\). (2,5 points)
- On munit \(E = \mathbb{R}^n\) de son produit scalaire usuel et de la norme euclidienne associée. Déduisez-en la dérivée de \(t \mapsto \langle f(t), g(t) \rangle\), puis celle de \(t \mapsto \|f(t)\|^2\). Montrez que, si \(\|f\|\) est constante sur \(I\), alors \(f^{\prime}(t)\) est orthogonal à \(f(t)\) pour tout \(t\). (1,5 point)
Exercice 2 : Dérivée d’un déterminant (5 points)
Soit \(M : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) une fonction dérivable, de colonnes \(C_1(t), \ldots, C_n(t)\).
- À l’aide de la formule \(\det M = \displaystyle\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} m_{\sigma(j),j}\), montrez que \(t \mapsto \det M(t)\) est dérivable et que :
\[(\det M)^{\prime}(t) = \sum_{j=1}^{n} \det(C_1(t), \ldots, C_j^{\prime}(t), \ldots, C_n(t)).\]
(1,5 point)
- On suppose \(0 \in I\) et \(M(0) = I_n\). Montrez que \((\det M)^{\prime}(0) = \operatorname{tr} M^{\prime}(0)\). (1 point)
- On considère \(M(t) = \begin{pmatrix} 1+t t 0 \\ t^2 1 t \\ 0 t 1+2t \end{pmatrix}\). Calculez \(\det M(t)\) sous forme développée, puis vérifiez le résultat de b). (1,5 point)
- Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Montrez que \(\det(I_n + tA) = 1 + t \operatorname{tr} A + o(t)\) quand \(t \to 0\). (1 point)
Exercice 3 : Accroissements finis et sommes de Riemann (5 points)
Dans cet exercice, \(\mathbb{R}^n\) est muni de la norme euclidienne \(\|\cdot\|\).
- Soit \(f : [a,b] \to \mathbb{R}^n\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(\|f^{\prime}(t)\| \leq\, M\) pour tout \(t\). Démontrez que \(\|f(b) – f(a)\| \leq\, M(b-a)\). (1,5 point)
- Avec \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) sur \([0, 2\pi]\), montrez qu’il n’existe aucun \(c \in ]0, 2\pi[\) tel que \(f(2\pi) – f(0) = 2\pi\, f^{\prime}(c)\). (1 point)
- Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}^n\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(f(0) = 0\) et \(\|f^{\prime}(t)\| \leq\, \|f(t)\|\) pour tout \(t\). En étudiant \(\varphi(t) = e^{-2t}\|f(t)\|^2\), montrez que \(f\) est la fonction nulle. (1,5 point)
- Calculez la limite, quand \(n \to +\infty\), du vecteur \(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (\cos\frac{k\pi}{n}, \sin\frac{k\pi}{n})\). (1 point)
Exercice 4 : Formules de Taylor et inégalité de Landau (6 points)
Soit \(I\) un intervalle, \(p \in \mathbb{N}\) et \(f : I \to \mathbb{R}^n\) de classe \(\mathcal{C}^{p+1}\), avec \(\mathbb{R}^n\) muni de la norme euclidienne.
- Énoncez et démontrez la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre \(p\) entre deux points \(a\) et \(b\) de \(I\). (2 points)
- Déduisez-en l’inégalité de Taylor-Lagrange : si \(\|f^{(p+1)}\| \leq\, M_{p+1}\) sur \(I\), majorez \(\|f(b) – \displaystyle\sum_{k=0}^{p} \frac{(b-a)^k}{k!} f^{(k)}(a)\|\). (1 point)
- Appliquez b) à \(f(t) = (\cos t, \sin t)\) avec \(p = 2\), \(a = 0\) et \(b = x\). Déduisez-en une majoration de \(|\sin x – x|\). (1,5 point)
- Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n\) de classe \(\mathcal{C}^2\) telle que \(\|f\| \leq\, M_0\) et \(\|f^{\prime\prime}\| \leq\, M_2\) sur \(\mathbb{R}\), avec \(M_2 > 0\). Montrez que, pour tous \(x \in \mathbb{R}\) et \(h > 0\), \(\|f^{\prime}(x)\| \leq\, \dfrac{2M_0}{h} + \dfrac{h M_2}{2}\). Déduisez-en que \(\|f^{\prime}(x)\| \leq\, 2\sqrt{M_0 M_2}\). (1,5 point)
Réviser avant le contrôle : fonctions vectorielles, dérivation et Taylor
Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions vectorielles » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions vectorielles.
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