Ce QCM de maths spé porte sur les séries numériques et vectorielles : divergence grossière, séries télescopiques, comparaison série-intégrale, règle de d’Alembert, sommation des relations de comparaison et théorème de Cesàro. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries numériques et vectorielles du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Séries numériques et vectorielles - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Laquelle des affirmations suivantes sur une série réelle \(\sum u_n\) est vraie ?
Asi \((u_n)\) ne tend pas vers \(0\), la série \(\sum u_n\) diverge
Bsi \(u_n \to 0\), la série \(\sum u_n\) converge
Csi \(\sum u_n\) converge, alors \(n u_n \to 0\)
Dsi \(\sum u_n\) diverge, \((u_n)\) ne tend pas vers \(0\)
Question 2
Que vaut la somme \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+2)}\) ?
A\(1\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(\frac{3}{4}\)
D\(\frac{3}{2}\)
Question 3
Que donne la règle de d’Alembert pour la série \(\sum \frac{n!}{n^n}\) ?
A\(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 1\), donc on ne peut pas conclure
B\(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \frac{1}{e}\), donc la série converge
C\(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to e\), donc la série diverge
D\(\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 0\), donc la série converge
Question 4
Quelle est la nature de la série \(\sum \left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)\) ?
Aconvergente, car son terme général tend vers \(0\)
Bconvergente, car c’est une série télescopique
Cdivergente, car son terme général est équivalent à \(\frac{1}{2\sqrt{n}}\)
Ddivergente grossièrement
Question 5
Par comparaison série-intégrale, quel est un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\) quand \(n \to +\infty\) ?
A\(\frac{3}{2}\,n^{3/2}\)
B\(n^{3/2}\)
C\(\frac{2}{3}\,n^{3/2}\)
D\(\frac{1}{2}\,n^{3/2}\)
Question 6
Quel est un équivalent du reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}\) ?
A\(\frac{1}{n}\)
B\(\frac{1}{2n}\)
C\(\frac{1}{n^3}\)
D\(\frac{1}{n^2}\)
Question 7
On sait que \(u_n \sim v_n\). Quelle hypothèse permet d’en déduire \(\sum_{k=0}^{n} u_k \sim \sum_{k=0}^{n} v_k\) ?
Aaucune, c’est toujours vrai
B\(v_n \to 0\)
C\(v_n \geqslant 0\) et \(\sum v_n\) converge
D\(v_n \geqslant 0\) et \(\sum v_n\) diverge
Question 8
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que \(u_{n+1} - u_n \to 3\). Que peut-on en déduire ?
A\(\frac{u_n}{n} \to 0\)
B\(\frac{u_n}{n} \to 3\)
C\(u_n \to 3\)
D\(u_n \sim 3^n\)
Question 9
La série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^n}{n}\) est :
Agrossièrement divergente
Bdivergente, car \(\sum \frac{1}{n}\) diverge
Cabsolument convergente
Dconvergente, mais pas absolument convergente
Question 10
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(\|A\| < 1\) pour une norme sous-multiplicative. Que dire de la série \(\sum_{k \geqslant 0} A^k\) ?
Aelle diverge dès que \(A\) n’est pas diagonalisable
Belle converge absolument, de somme \((I_n - A)^{-1}\)
Celle converge absolument, de somme \((I_n + A)^{-1}\)
Delle converge absolument, de somme \(I_n - A^{-1}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de séries numériques et vectorielles en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la divergence grossière et le lien suite-série ;
les séries télescopiques et le calcul exact de sommes ;
la règle de d’Alembert et les critères par équivalent ;
la comparaison série-intégrale pour les sommes partielles et les restes ;
la sommation des équivalents et le théorème de Cesàro.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure qu’une série converge parce que son terme général tend vers \(0\). La série harmonique \(\sum \frac{1}{n}\) diverge alors que \(\frac{1}{n} \to 0\) ; seule la contraposée (terme ne tendant pas vers \(0\), donc divergence) est un théorème.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour la nature d’une série à termes positifs, cherchez d’abord un équivalent du terme général et comparez à une série de Riemann. Pour un équivalent de somme partielle ou de reste, vérifiez les deux hypothèses de la sommation : signe constant et nature (divergente pour les sommes partielles, convergente pour les restes). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quand utiliser la comparaison série-intégrale plutôt que les équivalents ?
Quand le terme général est \(f(n)\) avec \(f\) monotone et que l’on connaît une primitive : on encadre alors \(\sum_{k=1}^n f(k)\) entre deux intégrales, ce qui donne un équivalent, voire un développement.
La réciproque du théorème de Cesàro est-elle vraie ?
Non : \(u_n = (-1)^n\) diverge alors que la moyenne \(\frac{u_1 + \dots + u_n}{n}\) tend vers \(0\).
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