Ce QCM de maths spé porte sur les séries de fonctions : modes de convergence (simple, uniforme, normale), régularité de la somme, intégration et dérivation terme à terme, et étude de la fonction zêta de Riemann. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries de fonctions du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Séries de fonctions - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
La série de fonctions bornées \(\sum f_n\) converge normalement sur \(I\) lorsque :
Ala série numérique \(\sum \|f_n\|_{\infty, I}\) converge
B\(f_n \to 0\) uniformément sur \(I\)
Cla somme \(S = \sum f_n\) est bornée sur \(I\)
Dpour tout \(x \in I\), \(\sum |f_n(x)|\) converge
Question 2
Laquelle des implications est vraie pour toute série de fonctions ?
Dconvergence absolue en tout point \(\Rightarrow\) convergence normale
Question 3
Que peut-on dire de la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}\) sur \(\mathbb{R}\) ?
Aelle converge normalement sur \(\mathbb{R}\), donc sa somme est \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\)
Belle ne converge normalement que sur \([-\pi, \pi]\)
Celle converge uniformément mais pas normalement sur \(\mathbb{R}\)
Delle converge normalement sur \(\mathbb{R}\), donc sa somme est continue sur \(\mathbb{R}\)
Question 4
La série définissant \(\zeta(x) = \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^x}\) converge normalement :
Asur \(]1, +\infty[\)
Bsur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 1\), mais pas sur \(]1, +\infty[\)
Csur \([1, +\infty[\)
Dsur \(]0, +\infty[\)
Question 5
Quel est un équivalent de \(\zeta(x)\) quand \(x \to 1^+\) ?
A\(\frac{1}{(x - 1)^2}\)
B\(-\ln(x - 1)\)
C\(\frac{1}{x - 1}\)
D\(\frac{2}{x - 1}\)
Question 6
Que vaut \(\lim_{x \to +\infty} \zeta(x)\) ?
A\(0\)
B\(\frac{\pi^2}{6}\)
C\(+\infty\)
D\(1\)
Question 7
En intégrant terme à terme sur \([0, \pi]\) la série normalement convergente \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}\), que vaut \(\int_0^\pi \sum_{n \geqslant 1} \frac{\sin(nx)}{n^2}\,\mathrm{d}x\) ?
A\(2\,\zeta(3)\)
B\(\frac{7}{4}\,\zeta(3)\)
C\(0\)
D\(\frac{7}{8}\,\zeta(3)\)
Question 8
On pose \(S(x) = \sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{-nx}}{n}\), convergente pour \(x > 0\). Quel argument, joint à la convergence simple, suffit à montrer que \(S\) est \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0, +\infty[\) ?
A\(\sum -e^{-nx}\) converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\)
B\(\frac{e^{-nx}}{n} \to 0\) uniformément sur \(]0, +\infty[\)
C\(\sum -e^{-nx}\) converge normalement sur \(]0, +\infty[\)
D\(\sum \frac{e^{-nx}}{n}\) converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\)
Question 9
Pour \(x > 0\), que vaut la somme \(S(x) = \sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{-nx}}{n}\) ?
A\(\frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}}\)
B\(-\ln\left(1 + e^{-x}\right)\)
C\(\ln\left(1 - e^{-x}\right)\)
D\(-\ln\left(1 - e^{-x}\right)\)
Question 10
Sur \([0, +\infty[\), la série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^n}{n + x}\) :
Aconverge simplement, mais pas uniformément
Bconverge normalement
Cconverge uniformément, sans converger normalement
Dne converge pas simplement
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de séries de fonctions en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la convergence normale \(\sum \|f_n\|_\infty < +\infty\) et ses conséquences ;
la convergence uniforme via la convergence uniforme des restes vers \(0\) ;
la continuité et le caractère \(\mathcal{C}^1\) d’une somme de série ;
le théorème de la double limite pour calculer une limite au bord ;
l’intégration terme à terme sur un segment et l’étude de \(\zeta\).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : chercher la convergence normale sur l’intervalle ouvert tout entier, là où elle échoue. Pour \(\zeta\), elle n’a lieu que sur \([a, +\infty[\) avec \(a > 1\), ce qui suffit pour la continuité sur \(]1, +\infty[\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour chaque théorème (continuité, \(\mathcal{C}^1\), limite), notez sur votre copie la série à étudier et l’intervalle choisi, puis calculez \(\|f_n\|_\infty\) sur cet intervalle. Si la convergence normale échoue, pensez à majorer le reste, par exemple avec le critère des séries alternées. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
La convergence normale implique-t-elle la convergence absolue ?
Oui : si \(\sum \|f_n\|_\infty\) converge, alors pour tout \(x\), \(|f_n(x)| \leq\, \|f_n\|_\infty\) donne la convergence absolue de \(\sum f_n(x)\), et même la convergence uniforme.
Comment obtenir un équivalent de \(\zeta(x)\) quand \(x \to 1^+\) ?
