Contrôle de maths spé : équations différentielles linéaires

Exercice 1 : Question de cours : théorème de Cauchy linéaire (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), \(n \geq\, 1\), et \(A : I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \(B : I \to \mathbb{K}^n\) deux applications continues. On considère le système différentiel \((S) : X^{\prime} = A(t) X + B(t)\) et le système homogène associé \((H) : X^{\prime} = A(t) X\).

1. Énoncez le théorème de Cauchy linéaire pour \((S)\). (1 point)
2. Soit \(t_0 \in I\). Montrez que l’ensemble \(\mathcal{S}_H\) des solutions de \((H)\) sur \(I\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{C}^1(I, \mathbb{K}^n)\) et que l’application \(\varphi : X \mapsto X(t_0)\) est un isomorphisme de \(\mathcal{S}_H\) sur \(\mathbb{K}^n\). Donnez la dimension de \(\mathcal{S}_H\). (1,5 point)
3. Soit \(a, b : I \to \mathbb{K}\) continues. En écrivant l’équation \(y^{\prime\prime} + a(t) y^{\prime} + b(t) y = 0\) sous forme d’un système, déduisez-en la dimension de son espace de solutions sur \(I\). (0,5 point)

Exercice 2 : Wronskien et deuxième solution (4 points)

On considère, sur l’intervalle \(I = ]0, +\infty[\), l’équation

\[(E_2) : \quad t\, y^{\prime\prime} – (t + 1)\, y^{\prime} + y = 0.\]

Pour deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) de \((E_2)\) sur \(I\), on note \(W = y_1 y_2^{\prime} – y_1^{\prime} y_2\) leur wronskien.

1. Vérifiez que \(y_1 : t \mapsto e^t\) est solution de \((E_2)\) sur \(I\). (0,5 point)
2. Montrez que \(W\) vérifie \(W^{\prime}(t) = (1 + \dfrac{1}{t}) W(t)\) sur \(I\), puis que \(W(t) = K\, t\, e^t\) pour une constante \(K\). (1 point)
3. En calculant la dérivée de \(\dfrac{y_2}{y_1}\), déterminez une solution \(y_2\) de \((E_2)\) sur \(I\) dont le wronskien avec \(y_1\) vaut \(-t\, e^t\). (1,5 point)
4. Justifiez que \((y_1, y_2)\) est une base de l’espace des solutions sur \(I\), puis déterminez la solution de \((E_2)\) telle que \(y(1) = 0\) et \(y^{\prime}(1) = 1\). (1 point)

Exercice 3 : Variation des constantes (4 points)

On se place sur \(J = ]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}[\) et on considère l’équation

\[(E_3) : \quad y^{\prime\prime} + y = \frac{1}{\cos t}.\]

1. Résolvez l’équation homogène associée sur \(J\). (0,5 point)
2. Par la méthode de variation des constantes, cherchez une solution particulière de la forme \(y = \lambda(t) \cos t + \mu(t) \sin t\), avec \(\lambda^{\prime}(t) \cos t + \mu^{\prime}(t) \sin t = 0\). Écrivez le système vérifié par \(\lambda^{\prime}\) et \(\mu^{\prime}\), puis résolvez-le. (2 points)
3. Donnez l’ensemble des solutions de \((E_3)\) sur \(J\). (0,5 point)
4. Justifiez l’existence et l’unicité d’une solution vérifiant \(y(0) = 0\) et \(y^{\prime}(0) = 0\), puis déterminez-la. (1 point)

Exercice 4 : Solutions développables en série entière (4 points)

On considère l’équation

\[(E_4) : \quad 4x\, y^{\prime\prime} + 2\, y^{\prime} – y = 0.\]

1. On cherche les fonctions \(f : x \mapsto \sum_{n \geq\, 0} a_n x^n\), de rayon de convergence \(R > 0\), solutions de \((E_4)\) sur \(]-R, R[\). Établissez une relation de récurrence entre \(a_{n+1}\) et \(a_n\), exprimez \(a_n\) en fonction de \(a_0\) et de \(n\), puis déterminez \(R\). (1,5 point)
2. Exprimez la somme \(f\) obtenue pour \(a_0 = 1\) à l’aide de fonctions usuelles, sur \(]0, +\infty[\) puis sur \(]-\infty, 0[\). (0,5 point)
3. Vérifiez que \(g : x \mapsto \operatorname{sh}(\sqrt{x})\) est solution de \((E_4)\) sur \(]0, +\infty[\). Déduisez-en toutes les solutions de \((E_4)\) sur \(]0, +\infty[\), en justifiant la dimension de l’espace des solutions. (1 point)
4. Déterminez les solutions \(y\) de \((E_4)\) sur \(]0, +\infty[\) telles que \(y^{\prime}\) admette une limite finie en \(0^+\). Comparez avec la question a. (1 point)

Exercice 5 : Problème : équations non normalisées et raccordements (5 points)

Une équation \(\alpha(x) y^{\prime} + \beta(x) y = \gamma(x)\) est dite non normalisée lorsque \(\alpha\) s’annule. On appelle solution sur \(\mathbb{R}\) toute fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) qui vérifie l’équation en tout point de \(\mathbb{R}\).

Partie A. On étudie \((E_5) : x\, y^{\prime} – 2y = x^3\).

1. Résolvez \((E_5)\) sur \(]0, +\infty[\), puis sur \(]-\infty, 0[\). (1 point)
2. Déterminez toutes les solutions de \((E_5)\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
3. Quelle est la dimension de la direction de l’espace affine des solutions sur \(\mathbb{R}\) ? Expliquez pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème de Cauchy linéaire. Combien de solutions sur \(\mathbb{R}\) vérifient \(y(0) = 0\) ? et \(y(0) = 1\) ? Déterminez la solution telle que \(y(1) = 2\) et \(y(-1) = 0\). (1 point)
4. Parmi les solutions sur \(\mathbb{R}\), lesquelles sont de classe \(\mathcal{C}^2\) ? (0,5 point)

Partie B. On étudie \((F) : x\, y^{\prime} + y = 2x\).

5. Résolvez \((F)\) sur \(]0, +\infty[\) et sur \(]-\infty, 0[\), puis montrez que \((F)\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\), que vous préciserez. (1 point)

Réviser avant le contrôle : équations différentielles linéaires

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Équations différentielles linéaires » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés équations différentielles linéaires.

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