Ce QCM de maths spé vérifie la maîtrise de la diagonalisation, de la trigonalisation et des matrices nilpotentes, avec leurs applications aux puissances de matrices et aux récurrences linéaires. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Diagonalisation, trigonalisation et nilpotence du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Diagonalisation et trigonalisation - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Un endomorphisme \(u\) d’un espace de dimension finie est diagonalisable si et seulement si :
A\(\dim E_\lambda(u) = m_\lambda\) pour toute valeur propre \(\lambda\)
B\(\chi_u\) est scindé et \(\dim E_\lambda(u) = m_\lambda\) pour toute valeur propre \(\lambda\)
C\(\chi_u\) est scindé à racines simples
D\(\chi_u\) est scindé
Question 2
Pourquoi la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) n’est-elle pas diagonalisable ?
Aelle est triangulaire mais non diagonale
B\(\dim E_1 = 1\) alors que \(1\) est valeur propre double
Cson polynôme caractéristique n’est pas scindé
Delle n’est pas inversible
Question 3
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\), de valeurs propres \(3\) et \(-1\). Que vaut le coefficient en position \((1,1)\) de \(A^n\) ?
A\(\frac{3^n - (-1)^n}{2}\)
B\(\frac{3^n + 1}{2}\)
C\(3^n\)
D\(\frac{3^n + (-1)^n}{2}\)
Question 4
Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})\) telle que \(\chi_A = (X - 1)(X - 2)^2\). Que valent \(\mathrm{tr}(A)\) et \(\det A\) ?
A\(3\) et \(2\)
B\(4\) et \(5\)
C\(5\) et \(4\)
D\(5\) et \(-4\)
Question 5
Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est nilpotente si et seulement si :
A\(\mathrm{tr}(A) = 0\)
B\(0\) est valeur propre de \(A\)
C\(\det A = 0\)
D\(\chi_A = X^n\)
Question 6
Quel est l’indice de nilpotence de \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) ?
A\(3\)
B\(4\)
C\(2\)
D\(6\)
Question 7
Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
Atoute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\)
Btoute matrice symétrique de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est diagonalisable
Ctoute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est trigonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\)
Dtoute matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est trigonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\)
Question 8
Soit \(A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Quelle matrice \(P\) vérifie \(P^{-1} A P = \mathrm{diag}(2, 3)\) ?
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes. Alors :
A\(A\) est inversible
B\(A\) n’est pas forcément diagonalisable si \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\)
C\(A\) est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont des droites
D\(A\) est diagonalisable, mais un sous-espace propre peut être un plan
Question 10
La suite définie par \(u_0 = 0\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) s’écrit (la matrice compagnon associée a pour valeurs propres \(2\) et \(-1\)) :
A\(u_n = 2^n - (-1)^n\)
B\(u_n = 2^n - 1\)
C\(u_n = 2^n + (-1)^n\)
D\(u_n = 3 \times 2^{n-1}\)
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de diagonalisation et trigonalisation en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le critère de diagonalisabilité : \(\chi_u\) scindé et \(\dim E_\lambda = m_\lambda\) ;
le cas suffisant de \(n\) valeurs propres distinctes ;
la trigonalisabilité, équivalente à un polynôme caractéristique scindé ;
la trace et le déterminant comme somme et produit des valeurs propres ;
les matrices nilpotentes et leur indice de nilpotence.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’une matrice est diagonalisable parce que son polynôme caractéristique est scindé. Cela prouve seulement qu’elle est trigonalisable : \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) a \(\chi = (X – 1)^2\) et n’est pas diagonalisable.
Comment réviser avant de refaire le test
Après avoir diagonalisé, vérifiez toujours \(AP = PD\) colonne par colonne : chaque colonne de \(P\) doit être un vecteur propre associé à la valeur propre placée au même rang dans \(D\). Pour les puissances, testez votre formule avec \(n = 0\) et \(n = 1\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Une matrice symétrique complexe est-elle toujours diagonalisable ?
Non : le théorème spectral concerne les matrices symétriques réelles. La matrice \(\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}\) est symétrique, nilpotente et non nulle, donc non diagonalisable.
Comment prouver rapidement qu’une matrice nilpotente non nulle n’est pas diagonalisable ?
Son spectre est \(\{0\}\) ; si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, donc nulle.
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «diagonalisation et trigonalisation : QCM de maths spé» au format PDF.
