Contrôle de maths spé : convergence dominée, intégration terme à terme

Exercice 1 : Question de cours : les deux théorèmes d’interversion (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\) et les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes.

1. Énoncez précisément le théorème de convergence dominée pour une suite de fonctions \((f_n)\) définies sur \(I\). (1,5 point)
2. Énoncez précisément le théorème d’intégration terme à terme pour une série de fonctions \(\sum f_n\) définies sur \(I\). (1,5 point)

Exercice 2 : Limite d’une intégrale sur un intervalle variable (4 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(I_n = \displaystyle\int_0^n (1 – \frac{t}{n})^n dt\) et on définit \(f_n\) sur \([0,+\infty[\) par \(f_n(t) = (1 – \dfrac{t}{n})^n\) si \(t \in [0,n]\) et \(f_n(t) = 0\) si \(t > n\). La figure représente quelques fonctions \(f_n\) et la fonction \(t \mapsto e^{-t}\).

1. Déterminez la limite simple de \((f_n)\) sur \([0,+\infty[\). (1 point)
2. Montrez que \(\ln(1-u) \leq\, -u\) pour tout \(u \in [0,1[\). Déduisez-en que \(0 \leq\, f_n(t) \leq\, e^{-t}\) pour tout \(t \geq\, 0\). (1,5 point)
3. Déterminez la limite de \((I_n)\) en vérifiant chaque hypothèse du théorème utilisé. (0,5 point)
4. Calculez \(I_n\) directement et retrouvez ce résultat. (1 point)

Exercice 3 : Deux limites par changement de variable (4 points)

1. Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(K_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{n\,f(t)}{1+n^2t^2}\,dt\). À l’aide du changement de variable \(u = nt\), montrez que \(K_n \to \dfrac{\pi}{2} f(0)\). (2,5 points)
2. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(J_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{dt}{1+t^n}\). Montrez que \(n(1 – J_n) = \displaystyle\int_0^1 \frac{u^{1/n}}{1+u}\,du\), puis que \(J_n = 1 – \dfrac{\ln 2}{n} + o(\dfrac{1}{n})\). (1,5 point)

Exercice 4 : Une intégrale calculée comme somme de série (4 points)

On admet que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\). On pose \(g(t) = \dfrac{t}{e^t – 1}\) pour \(t > 0\).

1. Montrez que \(g\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\). (0,5 point)
2. Montrez que, pour tout \(t > 0\), \(g(t) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} t\,e^{-nt}\). (1 point)
3. Calculez \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-nt}\,dt\) pour \(n \geq\, 1\), puis justifiez l’intégration terme à terme. (2 points)
4. Déduisez-en la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{t}{e^t – 1}\,dt\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : intégrale du produit de deux logarithmes (5 points)

On étudie \(L = \displaystyle\int_0^1 \ln(t)\,\ln(1-t)\,dt\). On admet encore que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrez que la fonction \(h : t \mapsto \ln(t)\ln(1-t)\) se prolonge par continuité sur \([0,1]\). Déduisez-en que \(L\) est bien définie. (1 point)
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), calculez \(\displaystyle\int_0^1 t^n \ln t\,dt\). (1 point)
3. Écrivez \(h(t)\) comme la somme d’une série de fonctions positives sur \(]0,1[\), puis justifiez que \(L = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)^2}\). (1,5 point)
4. Vérifiez que \(\dfrac{1}{n(n+1)^2} = \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n+1} – \dfrac{1}{(n+1)^2}\), puis calculez \(L\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : convergence dominée, intégration terme à terme

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Convergence dominée » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés convergence dominée.

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