Ce QCM de maths spé vérifie la maîtrise des séries entières : rayon de convergence, lemme d’Abel, régularité de la somme, développements usuels et utilisation des équations différentielles. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries entières du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Séries entières - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que dit le lemme d’Abel si la suite \((a_n z_0^n)\) est bornée ?
A\(\sum a_n z^n\) converge absolument pour tout \(|z| \leqslant |z_0|\)
B\(\sum a_n z^n\) converge pour tout \(|z| > |z_0|\)
C\(\sum a_n z_0^n\) converge
D\(\sum a_n z^n\) converge absolument pour tout \(|z| < |z_0|\)
Question 2
Quel est le rayon de convergence de \(\sum \frac{(n!)^2}{(2n)!} z^n\) ?
A\(4\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(2\)
D\(\frac{1}{4}\)
Question 3
Quel est le rayon de convergence de \(\sum_{n \geqslant 0} \frac{z^{2n}}{4^n}\) ?
A\(4\)
B\(\frac{1}{2}\)
C\(\frac{1}{4}\)
D\(2\)
Question 4
Pour \(|x| < 1\), que vaut \(\sum_{n \geqslant 1} n x^n\) ?
A\(\frac{1}{(1 - x)^2}\)
B\(\frac{x}{(1 - x)^2}\)
C\(\frac{x^2}{(1 - x)^2}\)
D\(\frac{x}{1 - x}\)
Question 5
Pour \(x \in ]-1, 1[\), quel est le développement en série entière de \(\ln(1 + x)\) ?
Que vaut \(f^{(5)}(0)\) pour \(f = \mathrm{Arctan}\) ?
A\(24\)
B\(120\)
C\(\frac{1}{5}\)
D\(-24\)
Question 7
Les séries entières \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\) ont pour rayons respectifs \(1\) et \(2\). Quel est le rayon de \(\sum (a_n + b_n) z^n\) ?
A\(\frac{3}{2}\)
B\(1\)
C\(3\)
D\(2\)
Question 8
Pour la série entière \(\sum z^n\), de rayon \(1\), laquelle des affirmations est vraie ?
Aelle converge en tout point du cercle \(|z| = 1\) sauf en \(z = 1\)
Belle converge uniformément sur le disque ouvert de rayon \(1\)
Celle converge normalement sur tout disque fermé de rayon \(r < 1\)
Delle converge normalement sur le disque ouvert de rayon \(1\)
Question 9
En appliquant le théorème d’Abel radial au développement de \(\ln(1 + x)\), que vaut \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) ?
A\(1\)
B\(-\ln 2\)
C\(\frac{\pi}{4}\)
D\(\ln 2\)
Question 10
Une série entière \(y = \sum a_n x^n\) de rayon non nul vérifie \(y'' - y = 0\), \(a_0 = 0\) et \(a_1 = 1\). Alors :
A\(a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+1)(n+2)}\) et \(y = \mathrm{ch}\,x\)
B\(a_{n+2} = \frac{a_n}{n+2}\) et \(y = \mathrm{sh}\,x\)
C\(a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+1)(n+2)}\) et \(y = \mathrm{sh}\,x\)
D\(a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+1)(n+2)}\) et \(y = \sin x\)
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de séries entières en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le lemme d’Abel et la définition du rayon de convergence ;
le calcul du rayon par d’Alembert, y compris pour les séries lacunaires ;
la convergence normale sur tout disque fermé strictement inclus ;
les développements usuels et le lien \(a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\) ;
les équations différentielles et l’unicité des coefficients.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer la règle de d’Alembert au quotient \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) pour une série lacunaire comme \(\sum \frac{z^{2n}}{4^n}\), dont un coefficient sur deux est nul. Il faut l’appliquer à la série numérique \(\sum |u_n(z)|\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour sommer une série entière, ramenez-la à un développement usuel par dérivation ou intégration terme à terme, en contrôlant le rayon. Pour développer une fonction, cherchez une équation différentielle linéaire simple qu’elle vérifie, puis identifiez les coefficients. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le rayon change-t-il quand on dérive ou intègre une série entière ?
Non : \(\sum a_n z^n\), \(\sum n a_n z^{n-1}\) et \(\sum \frac{a_n}{n + 1} z^{n+1}\) ont le même rayon. Seul le comportement sur le bord du disque peut changer.
Que dit le théorème d’Abel radial ?
Si \(\sum a_n R^n\) converge, alors \(\sum a_n x^n \to \sum a_n R^n\) quand \(x \to R^-\). C’est ainsi qu’on obtient \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\).
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «séries entières : QCM de maths spé» au format PDF.
