Ce QCM vérifie la maîtrise des variables aléatoires discrètes en Maths Spé MP : lois conjointes et marginales, indépendance et lemme des coalitions, et les deux lois centrales du programme, géométrique et de Poisson. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Variables aléatoires discrètes et lois usuelles du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Variables aléatoires discrètes - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Si \(X\) suit la loi géométrique de paramètre \(p \in ]0,1[\), que vaut \(P(X = k)\) ?
A\(p^{k-1}(1-p)\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\)
B\((1-p)^{k-1}p\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\)
C\((1-p)^{k-1}p\) pour \(k \in \mathbb{N}\)
D\((1-p)^{k}p\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\)
Question 2
Quelle propriété traduit l’absence de mémoire de \(X \sim \mathcal{G}(p)\), pour \(n, k \in \mathbb{N}\) ?
A\(P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)\)
B\(P(X = n + k \mid X > n) = P(X = n)\)
C\(P(X > n + k \mid X > n) = \frac{P(X > k)}{P(X > n)}\)
D\(P(X > n + k \mid X > n) = P(X > n + k)\)
Question 3
\(X \sim \mathcal{G}(p)\) et \(Y \sim \mathcal{G}(q)\) sont indépendantes. Quelle est la loi de \(\min(X,Y)\) ?
ALa loi géométrique de paramètre \(\frac{p+q}{2}\)
BLa loi géométrique de paramètre \(p + q - pq\)
CLa loi géométrique de paramètre \(pq\)
DLa loi géométrique de paramètre \(p + q\)
Question 4
\(X \sim \mathcal{P}(2)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(3)\) sont indépendantes. Que vaut \(P(X + Y = 0)\) ?
A\(e^{-2} + e^{-3}\)
B\(5e^{-5}\)
C\(e^{-6}\)
D\(e^{-5}\)
Question 5
Sous quelle hypothèse sur \(p_n\) la loi \(\mathcal{B}(n,p_n)\) approche-t-elle la loi \(\mathcal{P}(\lambda)\), au sens où \(P(X_n = k) \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\) ?
A\(\frac{p_n}{n} \to \lambda\)
B\(n p_n \to 0\)
C\(n p_n \to \lambda\)
D\(p_n \to \lambda\)
Question 6
Le couple \((X,Y)\) à valeurs dans \(\{0,1\}^2\) a pour loi \(P(0,0) = 0{,}1\), \(P(0,1) = 0{,}3\), \(P(1,0) = 0{,}2\), \(P(1,1) = 0{,}4\). Que vaut \(P(Y = 1)\), et \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
A\(P(Y = 1) = 0{,}4\), et elles ne sont pas indépendantes
B\(P(Y = 1) = 0{,}7\), et elles sont indépendantes
C\(P(Y = 1) = 0{,}6\), et elles sont indépendantes
D\(P(Y = 1) = 0{,}7\), et elles ne sont pas indépendantes
Question 7
\(X_1\), \(X_2\), \(X_3\) sont des variables discrètes mutuellement indépendantes. Quel couple de variables est-on assuré d’être indépendant ?
A\(X_1 + X_2\) et \(X_2 + X_3\)
B\(X_1 - X_2\) et \(X_1 + X_2\)
C\(X_1 X_3\) et \(X_3\)
D\(X_1 + X_2\) et \(X_3^2\)
Question 8
\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{-2,-1,0,1,2\}\) et \(Y = X^2\). Que vaut \(P(Y = 1)\) ?
A\(\frac{1}{5}\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(\frac{2}{5}\)
D\(\frac{1}{2}\)
Question 9
\(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) sont indépendantes, et \(n \in \mathbb{N}\). Quelle est la loi de \(X\) sachant \((X + Y = n)\) ?
A\(\mathcal{B}\left( n, \frac{\lambda}{\lambda + \mu} \right)\)
B\(\mathcal{P}(\lambda)\)
C\(\mathcal{B}\left( n, \frac{\lambda}{\mu} \right)\)
Que garantit le résultat admis par le programme sur les suites de variables aléatoires indépendantes ?
AL’existence d’un espace probabilisé portant une suite de variables indépendantes de lois discrètes prescrites
BQue deux variables indépendantes de même loi sont égales presque sûrement
CQu’un univers \(\Omega\) dénombrable suffit à porter une suite i.i.d. de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\)
DQue toute suite de variables de même loi est automatiquement indépendante
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de variables aléatoires discrètes en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la loi conjointe d’un couple et ses lois marginales ;
l’indépendance de variables aléatoires et le lemme des coalitions ;
la loi géométrique, rang du premier succès, et son absence de mémoire ;
la loi de Poisson comme limite de lois binomiales (événements rares) ;
la loi d’une somme, d’un minimum ou d’une loi conditionnelle.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire la loi géométrique \(P(X = k) = (1-p)^k p\) pour \(k \geq\, 1\). Dans le programme, \(X\) est le rang du premier succès : il y a \(k – 1\) échecs avant, d’où \((1-p)^{k-1}p\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour la loi d’un minimum, passez par les queues \(P(\min(X,Y) > n) = P(X > n)\,P(Y > n)\) (si indépendance) plutôt que par \(P(\min = n)\) : le calcul devient un simple produit. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Les lois marginales déterminent-elles la loi conjointe ?
Non, sauf si l’on sait que les variables sont indépendantes : la loi conjointe est alors le produit des marginales. En général, des couples très différents peuvent avoir les mêmes marginales.
Pourquoi la loi de Poisson modélise-t-elle les événements rares ?
Si \(X_n \sim \mathcal{B}(n, p_n)\) avec \(n p_n \to \lambda\), alors \(P(X_n = k) \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\) : un grand nombre d’épreuves à faible probabilité donne une loi de Poisson.
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