Contrôle de maths spé : normes, boules et normes équivalentes

Exercice 1 : Question de cours : normes usuelles sur K^n (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout le sujet, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). Pour \(x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n\), on pose \(\|x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k|\), \(\|x\|_2 = (\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2)^{1/2}\) et \(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq\, k \leq\, n} |x_k|\).

1. Donnez la définition d’une norme sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\). (1 point)
2. Démontrez que, pour tout \(x \in \mathbb{K}^n\) :
   \[\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1 \leq\, \sqrt{n}\, \|x\|_2 \leq\, n \|x\|_\infty.\]
   Vous citerez précisément l’inégalité utilisée pour la troisième inégalité. (2 points)

Exercice 2 : Normes sur des espaces de fonctions et de polynômes (4 points)

Soit \(E = \mathcal{C}^1([0, 1], \mathbb{R})\). Pour \(f \in E\), on pose \(\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} |f(x)|\) et \(N(f) = |f(0)| + \|f^{\prime}\|_\infty\).

1. Démontrez que \(N\) est une norme sur \(E\). (1 point)
2. Démontrez que \(\|f\|_\infty \leq\, N(f)\) pour tout \(f \in E\). (1 point)
3. À l’aide des fonctions \(g_n : x \mapsto x^n\), démontrez que les normes \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(E\). (1 point)
4. Démontrez que \(P \mapsto \sup_{t \in [0, 1]} |P(t)|\) définit une norme sur \(\mathbb{R}[X]\). (1 point)

Exercice 3 : Boules unités dans le plan (3 points)

On se place dans \(\mathbb{R}^2\), muni des normes \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) de l’exercice 1.

1. Représentez sur un même dessin les boules unités fermées \(B_1 = \{u : \|u\|_1 \leq\, 1\}\) et \(B_\infty = \{u : \|u\|_\infty \leq\, 1\}\), en justifiant leur forme. (1 point)
2. Démontrez que \(\|u\|_\infty \leq\, \|u\|_1 \leq\, 2 \|u\|_\infty\) pour tout \(u \in \mathbb{R}^2\), que les constantes \(1\) et \(2\) sont optimales, puis que \(B_\infty(0, \frac{1}{2}) \subset B_1 \subset B_\infty\). (1 point)
3. Démontrez que, dans un espace normé quelconque, toute boule fermée \(B_f(a, r)\) est convexe. (1 point)

Exercice 4 : Fonctions chapeaux et normes non équivalentes (4 points)

Soit \(F = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\), muni de \(\|f\|_\infty = \sup_{[0, 1]} |f|\) et de \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\, dt\). On admet que ce sont deux normes. Pour \(n \geq\, 2\), on définit la fonction chapeau \(f_n\) par :

\[f_n(x) = 1 – n |x – \frac{1}{n}| \text{ si } 0 \leq\, x \leq\, \frac{2}{n}, \qquad f_n(x) = 0 \text{ si } \frac{2}{n} \leq\, x \leq\, 1.\]

1. Démontrez que \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_\infty\) pour tout \(f \in F\). (0,5 point)
2. Justifiez que \(f_n \in F\), puis calculez \(\|f_n\|_\infty\) et \(\|f_n\|_1\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que les normes \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(F\). (1 point)
4. La suite \((f_n)\) converge-t-elle dans \((F, \|\cdot\|_1)\) ? dans \((F, \|\cdot\|_\infty)\) ? Justifiez. (1 point)

Exercice 5 : Problème : suites de matrices et valeurs d’adhérence (6 points)

Partie A. On munit \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de la norme \(N(M) = \max_{1 \leq\, i, j \leq\, 2} |m_{ij}|\).

1. Démontrez qu’une suite \((M_k)\) de matrices converge vers \(L\) pour \(N\) si et seulement si, pour tous \(i, j\), la suite des coefficients \((M_k)_{ij}\) converge vers \(L_{ij}\). (1 point)
2. Rappelez la définition d’une valeur d’adhérence d’une suite d’un espace normé, et démontrez qu’une suite convergente en possède une seule. Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}\). Calculez \(A^2\) et \(A^4\), trouvez quatre valeurs d’adhérence de \((A^k)\) et concluez sur sa nature. (1,5 point)
3. Soit \(B = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 -1 \\ 1 1 \end{pmatrix}\). On note \(R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta -\sin\theta \\ \sin\theta \cos\theta \end{pmatrix}\) et l’on admet que \(R_\theta R_\varphi = R_{\theta + \varphi}\). Écrivez \(B\) sous la forme \(\rho R_\theta\), puis démontrez que \((B^k)\) converge vers la matrice nulle. (1,5 point)

Partie B. Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on considère la suite définie pour \(n \geq\, 1\) par :

\[u_n = ((-1)^n + \frac{1}{n},\ \cos(\frac{2n\pi}{3})).\]

4. Déterminez l’ensemble des valeurs d’adhérence de \((u_n)\). Vous étudierez les suites extraites \((u_{6p + r})_p\) pour \(r \in \{0, 1, \ldots, 5\}\), puis vous démontrerez qu’il n’y en a pas d’autres. (2 points)

Réviser avant le contrôle : normes, boules et normes équivalentes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces vectoriels normés » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces vectoriels normés.

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