Ce QCM de maths spé porte sur la topologie d’un espace normé : ouverts et fermés, intérieur et adhérence, caractérisations séquentielles, densité, continuité et norme subordonnée des applications linéaires. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Topologie d’un espace normé et continuité du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Topologie et continuité - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Dans un espace vectoriel normé, laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
Aune intersection quelconque d’ouverts est un ouvert
Bune partie qui n’est pas ouverte est fermée
Cune intersection finie d’ouverts est un ouvert
Dune réunion quelconque de fermés est un fermé
Question 2
Dans \(\mathbb{R}\), que valent l’intérieur et l’adhérence de \(\mathbb{Q}\) ?
A\(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{Q}\)
B\(\emptyset\) et \(\mathbb{R}\)
C\(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)
D\(\emptyset\) et \(\mathbb{Q}\)
Question 3
Une partie \(A\) d’un espace normé est fermée si et seulement si :
Atoute suite d’éléments de \(A\) est bornée
Bson complémentaire n’est pas ouvert
Cla limite de toute suite convergente d’éléments de \(A\) appartient à \(A\)
Dtoute suite d’éléments de \(A\) admet une suite extraite convergeant dans \(A\)
Question 4
La partie \(U = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy > 1\}\) est :
Aouverte, image réciproque de \(]1, +\infty[\) par l’application continue \((x, y) \mapsto xy\)
Bfermée, image réciproque de \(]1, +\infty[\) par l’application continue \((x, y) \mapsto xy\)
Couverte et fermée, car elle est réunion de deux composantes
Dni ouverte ni fermée, car elle n’est pas bornée
Question 5
On munit \(\mathbb{R}^2\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Que vaut la norme subordonnée de l’application de matrice \(A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) ?
A\(5\)
B\(3\)
C\(\sqrt{14}\)
D\(4\)
Question 6
Une application linéaire \(u : E \to F\) entre espaces normés est continue si et seulement si :
Apour tout \(x \neq 0\), il existe \(C_x \geqslant 0\) tel que \(\|u(x)\| \leqslant C_x \|x\|\)
B\(u\) est injective
Cil existe \(C \geqslant 0\) tel que \(\|u(x)\| \leqslant C\|x\|\) pour tout \(x \in E\)
D\(\|u(x)\| \leqslant \|x\|\) pour tout \(x \in E\)
Question 7
On munit \(\mathbb{R}[X]\) de la norme \(\left\|\sum a_k X^k\right\| = \max_k |a_k|\). L’application de dérivation \(D : P \mapsto P'\) :
Aest continue, de norme subordonnée égale à \(1\)
Bn’est pas continue, car \(\|D(X^n)\| = n\) et \(\|X^n\| = 1\)
Cest continue, car elle est linéaire
Dn’est pas continue, car elle n’est pas injective
Question 8
Soit \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continues telles que \(f(x) = g(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{Q}\). Alors :
A\(f = g\) sur \(\mathbb{R}\) n’est garanti que si \(f\) et \(g\) sont de plus lipschitziennes
B\(f = g\) sur \(\mathbb{R}\) n’est garanti que si \(f\) et \(g\) sont de plus linéaires
C\(f = g\) seulement sur \(\mathbb{Q}\) en général
D\(f = g\) sur \(\mathbb{R}\), par densité de \(\mathbb{Q}\)
Question 9
La fonction \(x \mapsto \sqrt{x}\) sur \([0, +\infty[\) est :
Ani lipschitzienne ni uniformément continue, car sa dérivée n’est pas bornée
Buniformément continue mais pas lipschitzienne
Clipschitzienne
Dcontinue mais pas uniformément continue
Question 10
Soit \(u, v\) deux endomorphismes continus d’un espace normé et \(|||\cdot|||\) la norme subordonnée. Laquelle des relations est toujours vraie ?
A\(|||u \circ v||| \geqslant |||u|||\;|||v|||\)
B\(|||u \circ v||| = |||u|||\;|||v|||\)
C\(|||u + v||| = |||u||| + |||v|||\)
D\(|||u \circ v||| \leqslant |||u|||\;|||v|||\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de topologie et continuité en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la stabilité des ouverts et fermés par réunion et intersection ;
l’intérieur, l’adhérence et la caractérisation séquentielle des fermés ;
l’image réciproque d’un ouvert ou d’un fermé par une application continue ;
les applications lipschitziennes et uniformément continues ;
le critère \(\|u(x)\| \leq\, C\|x\|\) et la norme subordonnée.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : penser qu’une partie non ouverte est fermée. \([0, 1[\) n’est ni ouvert ni fermé dans \(\mathbb{R}\), tandis que \(\mathbb{R}\) et \(\emptyset\) sont à la fois ouverts et fermés.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer qu’une partie définie par des inégalités est ouverte ou fermée, écrivez-la comme image réciproque d’un intervalle ouvert ou fermé par une fonction continue : c’est presque toujours plus rapide que les boules. Pour une norme subordonnée, trouvez un majorant puis un vecteur qui l’atteint. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Une application linéaire est-elle toujours continue ?
En dimension finie, oui. En dimension infinie, non : la dérivation sur \(\mathbb{R}[X]\) muni de la norme « max des coefficients » n’est pas continue, car \(\|D(X^n)\| = n\) alors que \(\|X^n\| = 1\).
À quoi sert la densité ?
Deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales partout. C’est l’outil standard pour étendre une identité vérifiée sur \(\mathbb{Q}\) ou sur les matrices inversibles.
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