Contrôle de maths L2 : différentiabilité, Taylor et extrema

Exercice 1 : Question de cours : différentiabilité et Taylor-Young (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans cet exercice, \(U\) est un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), \(a\) un point de \(U\) et \(f : U \to \mathbb{R}\) une fonction. On munit \(\mathbb{R}^2\) de la norme euclidienne \(\|\cdot\|\).

1. Donnez la définition de « \(f\) est différentiable en \(a\) ». Démontrez ensuite que si \(f\) est différentiable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). (1,5 point)
2. On suppose \(f\) de classe \(C^2\) sur \(U\) et \(a\) point critique de \(f\). Énoncez la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en \(a\). Démontrez alors que si la forme quadratique \(q(h) = {^t h \, H_f(a) \, h\) est définie positive, \(f\) admet un minimum local strict en \(a\). (1,5 point)

Exercice 2 : Continuité, dérivées partielles et différentiabilité en l’origine (4 points)

On définit deux fonctions sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(0,0) = g(0,0) = 0\) et, pour \((x,y) \neq (0,0)\) :

\[f(x,y) = \frac{x y^2}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}.\]

1. Démontrez que \(f\) est continue en \((0,0)\). (1 point)
2. Calculez les dérivées partielles \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\). (1 point)
3. Démontrez que \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\). (1 point)
4. Démontrez que \(g\) est différentiable en \((0,0)\) et donnez sa différentielle en ce point. (1 point)

Exercice 3 : Règle de la chaîne et équation aux dérivées partielles (4 points)

On cherche toutes les fonctions \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) vérifiant, pour tout \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) :

\[(E) \qquad \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) – \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2(x + y).\]

On note \(\varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) l’application définie par \(\varphi(x,y) = (x + y,\, x – y)\).

1. Démontrez que \(\varphi\) est une bijection de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\), de classe \(C^1\), dont la réciproque est de classe \(C^1\). Donnez \(\varphi^{-1}\). (1 point)
2. Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\). On pose \(g = f \circ \varphi^{-1}\), de sorte que \(f(x,y) = g(x+y,\, x-y)\). Exprimez \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) à l’aide des dérivées partielles de \(g\), puis traduisez \((E)\) en une équation vérifiée par \(g\). (1,5 point)
3. Résolvez \((E)\). (1 point)
4. Déterminez la solution de \((E)\) qui vérifie \(f(x,0) = 0\) pour tout réel \(x\). (0,5 point)

Exercice 4 : Points critiques et matrice hessienne (3,5 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\). (1 point)
2. Précisez la nature de chacun d’eux, à l’aide des notations de Monge \(r\), \(s\), \(t\). (1,5 point)
3. Développez \(f(1+h,\, 1+k)\) et comparez le résultat avec la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en \((1,1)\). (0,5 point)
4. La fonction \(f\) admet-elle un extremum global sur \(\mathbb{R}^2\) ? (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : boîte ouverte de surface minimale (5,5 points)

Un artisan fabrique une boîte en forme de pavé droit, sans couvercle, de volume \(32\text{ dm}^3\). On note \(x\) et \(y\) les dimensions du fond et \(z\) la hauteur, en décimètres, avec \(x, y, z > 0\). Il veut utiliser le moins de matière possible, c’est-à-dire minimiser l’aire totale des cinq faces.

1. Exprimez \(z\) en fonction de \(x\) et \(y\). Démontrez que l’aire des cinq faces vaut \(S(x,y) = xy + \dfrac{64}{x} + \dfrac{64}{y}\), où \((x,y)\) décrit l’ouvert \(U = ]0,+\infty[^2\). (0,5 point)
2. Justifiez que \(S\) est de classe \(C^2\) sur \(U\), puis déterminez ses points critiques. (1,5 point)
3. Calculez la matrice hessienne de \(S\) au point critique et concluez sur sa nature locale. (1 point)
4. On pose \(K = [\frac{4}{3}, 36]^2\). Démontrez que \(S(x,y) \geq\, 48\) pour tout \((x,y) \in U\) n’appartenant pas à l’intérieur de \(K\). (1 point)
5. En utilisant la compacité de \(K\), démontrez que \(S\) admet un minimum global sur \(U\). Donnez les dimensions de la boîte optimale et l’aire de matière utilisée. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : différentiabilité, Taylor et extrema

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Différentielle et extrema » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés différentielle et extrema.

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