Ce QCM vérifie la maîtrise de la différentiabilité et de l’étude locale des extrema en L2 : différentielle, matrice jacobienne, théorème de Schwarz, hessienne, formule de Taylor-Young et classification des points critiques. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Différentiabilité, formule de Taylor et extrema du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Différentielle et extrema - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Quand dit-on que \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) est différentiable en \(a \in U\) ?
AIl existe \(L\) linéaire telle que \(f(a + h) = f(a) + L(h) + O(\|h\|)\).
BIl existe \(L\) linéaire telle que \(f(a + h) = f(a) + L(h) + o(\|h\|)\).
C\(f\) admet en \(a\) une dérivée selon tout vecteur \(v\).
D\(f\) admet en \(a\) des dérivées partielles par rapport à chaque variable.
Question 2
Quelle est la matrice jacobienne de \(f(x, y) = (xy,\ x + y^2)\) au point \((1, 1)\) ?
A\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
Question 3
Quels sont les points critiques de \(f(x, y) = x^3 - 3x + y^2\) ?
A\((0, 0)\)
B\((1, 0)\) et \((-1, 0)\)
C\((1, 0)\) seulement
D\((1, 0)\), \((-1, 0)\) et \((0, 0)\)
Question 4
Pour \(f(x, y) = x^3 - 3x + y^2\), quelle est la nature du point critique \((-1, 0)\) ?
AUn minimum local
BUn point col (ni minimum ni maximum local)
CUn maximum local
DOn ne peut pas conclure avec la hessienne.
Question 5
Quel est l’énoncé du théorème de Schwarz ?
ASi \(f\) est de classe \(C^2\), alors \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\).
BSi \(f\) est de classe \(C^1\) sur un ouvert, alors \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\).
CSi \(f\) est de classe \(C^2\) sur un ouvert, alors \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\).
DSi \(f\) admet des dérivées partielles secondes, alors \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\).
Question 6
Laquelle de ces implications est vraie pour \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) en un point \(a\) ?
A\(f\) admet des dérivées partielles en \(a\) \(\Rightarrow\) \(f\) différentiable en \(a\)
B\(f\) continue et admet des dérivées partielles en \(a\) \(\Rightarrow\) \(f\) différentiable en \(a\)
C\(f\) différentiable en \(a\) \(\Rightarrow\) \(f\) continue en \(a\)
D\(f\) différentiable en \(a\) \(\Rightarrow\) \(f\) de classe \(C^1\) au voisinage de \(a\)
Question 7
Quelle est la nature du point critique \((0, 0)\) de \(f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2\) ?
AUn minimum local, car tous les coefficients sont positifs
BUn minimum local, car \(r = 2 > 0\)
CUn maximum local, car \(rt - s^2 < 0\)
DUn point col, car \(rt - s^2 = -5 < 0\)
Question 8
Pour \(f\) de classe \(C^2\), quelle est la formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\) en \(a\) ?
En un point \(a\) intérieur, \(\nabla f(a) = 0\) et la hessienne \(H_f(a)\) est nulle. Que peut-on conclure ?
ARien sans étude supplémentaire : tout est possible.
B\(a\) est un point col.
C\(f\) est constante au voisinage de \(a\).
D\(a\) est un minimum local.
Question 10
Quels sont le maximum et le minimum de \(f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x\) sur le disque fermé \(x^2 + y^2 \leqslant 4\) ?
AMaximum \(8\), minimum \(-1\)
BMaximum \(8\), minimum \(0\)
CMaximum \(4\), minimum \(-1\)
DMaximum \(0\), minimum \(-1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de différentielle et extrema en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la différentielle comme meilleure approximation linéaire : \(f(a + h) = f(a) + df_a(h) + o(\|h\|)\) ;
la matrice jacobienne et le lien \(C^1 \Rightarrow\) différentiable \(\Rightarrow\) continue ;
le théorème de Schwarz et la matrice hessienne ;
la formule de Taylor-Young à l’ordre \(2\) ;
les points critiques et leur classification par le signe de \(rt – s^2\) ;
la recherche d’extrema sur un compact : intérieur et bord.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’un point critique est forcément un extremum, ou qu’une hessienne nulle permet de conclure. \(x^4 + y^4\), \(-x^4 – y^4\) et \(x^4 – y^4\) ont toutes une hessienne nulle en \((0,0)\), pour un minimum, un maximum et un point col.
Comment réviser avant de refaire le test
Sur un compact, cherchez les extrema en deux temps : les points critiques intérieurs, puis le bord paramétré (cercle, segment) ; comparez ensuite toutes les valeurs obtenues, sans oublier que la condition \(\nabla f = 0\) n’est nécessaire qu’à l’intérieur. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Comment montrer qu’une fonction n’est pas différentiable en un point ?
On peut montrer qu’elle n’y est pas continue, ou bien calculer les dérivées partielles, former le candidat \(L(h) = \nabla f(a) \cdot h\) et prouver que \(\frac{f(a + h) – f(a) – L(h)}{\|h\|}\) ne tend pas vers \(0\), souvent le long d’une direction bien choisie.
Que faire quand \(rt – s^2 = 0\) ?
Le test de la hessienne ne conclut pas. Il faut étudier directement le signe de \(f(a + h) – f(a)\), par exemple sur des droites ou des courbes passant par \(a\).
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