Contrôle de maths L2 : intégrales dépendant d’un paramètre

Exercice 1 : Question de cours : continuité et dérivation sous l’intégrale (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans cet exercice, \(A\) et \(I\) sont deux intervalles de \(\mathbb{R}\), et \(k\) une fonction définie sur \(A \times I\) à valeurs réelles.

1. Énoncez le théorème de continuité d’une intégrale à paramètre \(x \mapsto \int_I k(x, t)\, dt\), avec une hypothèse de domination. (1 point)
2. Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale (classe \(\mathcal{C}^1\)), avec une hypothèse de domination sur tout segment de \(A\). (1 point)
3. On pose \(\displaystyle F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2}\, dt\). Démontrez que \(F\) est définie et continue sur \([0, +\infty[\), puis de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]0, +\infty[\). (1 point)

Exercice 2 : Une intégrale calculée par dérivation (4 points)

Pour \(x > -1\), on pose
\[F(x) = \int_0^1 \frac{t^x – 1}{\ln t}\, dt.\]

1. Démontrez que, pour tout \(x > -1\), la fonction \(t \mapsto \dfrac{t^x – 1}{\ln t}\) est intégrable sur \(]0, 1[\). (1,5 point)
2. Démontrez que \(F\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(]-1, +\infty[\) et calculez \(F^{\prime}(x)\). Vous rédigerez l’hypothèse de domination sur un segment \([a, b]\) inclus dans \(]-1, +\infty[\). (1,5 point)
3. En déduire \(F(x)\) pour \(x > -1\), puis la valeur de \(\displaystyle \int_0^1 \frac{t – 1}{\ln t}\, dt\). (1 point)

Exercice 3 : La fonction Gamma d’Euler (5 points)

On pose, lorsque cela a un sens, \(\displaystyle \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt\).

1. Démontrez que \(\Gamma(x)\) est défini si et seulement si \(x > 0\). (1 point)
2. Démontrez que \(\Gamma(x+1) = x\, \Gamma(x)\) pour tout \(x > 0\), puis calculez \(\Gamma(n+1)\) pour \(n \in \mathbb{N}\). (1 point)
3. Démontrez que \(\Gamma\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(]0, +\infty[\) et donnez \(\Gamma^{\prime\prime}(x)\) sous forme d’intégrale. (1,5 point)
4. Démontrez que \(\Gamma\) est strictement convexe, puis qu’elle admet un minimum global sur \(]0, +\infty[\), atteint en un unique point de \(]1, 2[\). (1,5 point)

Exercice 4 : Problème : l’intégrale de Gauss (8 points)

On définit, pour tout réel \(x\),
\[f(x) = (\int_0^x e^{-t^2}\, dt)^2 \qquad \text{et} \qquad g(x) = \int_0^1 \frac{e^{-x^2 (1+t^2)}}{1+t^2}\, dt.\]

1. Démontrez que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimez \(g^{\prime}(x)\) sous forme d’intégrale. (2 points)
2. Démontrez que \(f^{\prime} + g^{\prime} = 0\) sur \(\mathbb{R}\), puis que \(f(x) + g(x) = \dfrac{\pi}{4}\) pour tout réel \(x\). (2 points)
3. Démontrez que \(g(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\). (1,5 point)
4. Justifiez la convergence de \(\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\, dt\) et démontrez que cette intégrale vaut \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\). (1,5 point)
5. En déduire la valeur de \(\Gamma(\frac{1}{2})\), où \(\Gamma\) est la fonction de l’exercice 3. (1 point)

Réviser avant le contrôle : intégrales dépendant d’un paramètre

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrales à paramètre » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrales à paramètre.

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