Ce QCM vérifie la maîtrise des séries à termes quelconques en L2 : critère de Cauchy, convergence absolue, séries alternées, transformation d’Abel, séries de Bertrand et produit de Cauchy. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Séries à termes quelconques du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Séries à termes quelconques - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Dans \(\mathbb{R}\), pourquoi une série absolument convergente est-elle convergente ?
APar le critère de Cauchy, car \(\mathbb{R}\) est complet.
BPar comparaison à une série géométrique.
CPar le critère spécial des séries alternées.
DParce que les sommes partielles de \(\sum u_n\) sont croissantes.
Question 2
Quelles hypothèses du critère spécial des séries alternées assurent la convergence de \(\sum (-1)^n a_n\) ?
A\((a_n)\) est décroissante et bornée.
B\((a_n)\) est positive et tend vers \(0\).
C\((a_n)\) est positive et \(\sum a_n^2\) converge.
D\((a_n)\) est positive, décroissante et tend vers \(0\).
Question 3
On approche \(S = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) par la somme partielle \(S_{10}\). Quelle majoration de \(|S - S_{10}|\) donne le critère des séries alternées ?
A\(\frac{1}{10}\)
B\(\frac{1}{121}\)
C\(\frac{1}{11}\)
D\(\frac{1}{100}\)
Question 4
Quelle est la nature de \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt n}\) ?
AAbsolument convergente.
BGrossièrement divergente.
CDivergente, sans être grossièrement divergente.
DSemi-convergente.
Question 5
Pour quels réels \(\beta\) la série de Bertrand \(\sum_{n \geqslant 2} \frac{1}{n (\ln n)^{\beta}}\) converge-t-elle ?
A\(\beta > 0\)
B\(\beta > 1\)
CPour tout réel \(\beta\)
D\(\beta \geqslant 1\)
Question 6
Soit \(u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}\) pour \(n \geqslant 2\). Quelle affirmation est correcte ?
B\(\sum u_n\) converge, car \(u_n \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt n}\), terme d’une série convergente.
C\(\sum u_n\) diverge grossièrement, car \(u_n\) ne tend pas vers \(0\).
D\(\sum u_n\) converge, par le critère spécial des séries alternées.
Question 7
En utilisant le produit de Cauchy de \(\sum_{n \geqslant 0} \frac{1}{2^n}\) par elle-même, que vaut \(\sum_{n \geqslant 0} \frac{n+1}{2^n}\) ?
A\(3\)
B\(4\)
C\(8\)
D\(2\)
Question 8
Quel énoncé est le critère de Cauchy pour la série \(\sum u_n\) ?
APour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n \geqslant N\), \(|S_{n+1} - S_n| \leqslant \varepsilon\).
BPour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que pour tous \(q > p \geqslant N\), \(\left|\sum_{k=p+1}^{q} u_k\right| \leqslant \varepsilon\).
CIl existe \(N\) tel que pour tous \(q > p \geqslant N\), \(\left|\sum_{k=p+1}^{q} u_k\right| \leqslant 1\).
DPour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n \geqslant N\), \(|u_n| \leqslant \varepsilon\).
Question 9
Quelle est la nature de la série complexe \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{e^{in}}{n}\) ?
AConvergente mais non absolument convergente.
BDivergente, car \(\left|\frac{e^{in}}{n}\right| = \frac{1}{n}\).
CAbsolument convergente.
DGrossièrement divergente, car \(e^{in}\) n’a pas de limite.
Question 10
On regroupe les termes de \(\sum_{n \geqslant 0} (-1)^n\) deux par deux : \((1 - 1) + (1 - 1) + \cdots\). Quelle conclusion est correcte ?
ALa série initiale converge et sa somme vaut \(\frac{1}{2}\).
BLa série initiale converge et sa somme vaut \(0\).
CLa série des paquets converge, mais la série initiale diverge.
DLes deux séries divergent.
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de séries à termes quelconques en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le critère de Cauchy et la complétude de \(\mathbb{R}\) ;
la convergence absolue et les séries semi-convergentes ;
le critère spécial des séries alternées et la majoration du reste ;
la transformation d’Abel pour les séries du type \(\sum a_n e^{in\theta}\) ;
les séries de Bertrand et le produit de Cauchy ;
les développements asymptotiques pour étudier une série non alternée au sens strict.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : utiliser un équivalent pour une série de signe non constant. \(\frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}\) est équivalent à \(\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\), et pourtant la première série diverge : il faut pousser le développement asymptotique jusqu’à un terme absolument convergent.
Comment réviser avant de refaire le test
Commencez toujours par tester la convergence absolue ; si elle échoue, écrivez un développement asymptotique du terme général en isolant une partie alternée, une partie de signe constant et un reste en \(O(1/n^{\alpha})\) avec \(\alpha > 1\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Une série semi-convergente peut-elle être réordonnée ?
On peut réordonner ses termes, mais la somme change en général : un réarrangement bien choisi peut même la faire converger vers n’importe quel réel ou diverger. Seules les séries absolument convergentes ont une somme invariante par permutation.
Pourquoi le critère des séries alternées exige-t-il la décroissance de \(|u_n|\) ?
La décroissance assure que les sommes partielles d’indices pairs et impairs forment deux suites adjacentes. Sans elle, la série peut diverger même si \(u_n \to 0\).
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