Ce QCM vérifie la maîtrise des groupes en L2 : sous-groupes, morphismes, ordre d’un élément, groupes cycliques, théorème de Lagrange, groupe symétrique, ainsi que les premières définitions d’anneau, de corps et d’idéal. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Groupes, sous-groupes et morphismes du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Groupes - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que dit le théorème de Lagrange pour un groupe fini \(G\) et un sous-groupe \(H\) ?
AL’ordre de \(H\) est un nombre premier.
BL’ordre de \(H\) divise l’ordre de \(G\).
CL’ordre de \(G\) divise l’ordre de \(H\).
DPour tout diviseur \(d\) de \(|G|\), \(G\) possède un sous-groupe d’ordre \(d\).
Question 2
Quel est l’ordre de \(\bar 6\) dans le groupe additif \(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\) ?
A\(5\)
B\(6\)
C\(15\)
D\(3\)
Question 3
Quel est l’ordre de la permutation \(\sigma = (1\ 2\ 3)(4\ 5)\) de \(\mathfrak{S}_5\) ?
A\(2\)
B\(5\)
C\(6\)
D\(3\)
Question 4
Quels sont les sous-groupes du groupe \((\mathbb{Z}, +)\) ?
ALes \(n\mathbb{Z}\) avec \(n\) premier, et \(\{0\}\).
BLes parties de \(\mathbb{Z}\) stables par addition.
CLes \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}\), ainsi que \(\mathbb{N}\).
DLes \(n\mathbb{Z}\) avec \(n \in \mathbb{N}\).
Question 5
Quel est le noyau du morphisme \(\det : GL_n(\mathbb{R}) \to (\mathbb{R}^{*}, \times)\) ?
ALes matrices de déterminant \(0\)
B\(SL_n(\mathbb{R})\), les matrices de déterminant \(1\)
CLes matrices orthogonales
D\(\{I_n\}\)
Question 6
Soit \(\sigma \in \mathfrak{S}_5\) définie par \(\sigma(1) = 3\), \(\sigma(2) = 4\), \(\sigma(3) = 5\), \(\sigma(4) = 2\), \(\sigma(5) = 1\). Quelle est sa décomposition en cycles disjoints ?
A\((1\ 5\ 3)(2\ 4)\)
B\((1\ 3\ 5\ 2\ 4)\)
C\((1\ 3)(3\ 5)(2\ 4)\)
D\((1\ 3\ 5)(2\ 4)\)
Question 7
Que peut-on dire d’un groupe \(G\) d’ordre \(7\) ?
AIl est cyclique, engendré par n’importe lequel de ses éléments différents du neutre.
BIl peut ne pas être commutatif, comme certains groupes d’ordre \(6\).
CIl possède un sous-groupe d’ordre \(2\), comme tout groupe non trivial.
DIl est cyclique, mais possède un seul générateur.
Question 8
La réunion \(2\mathbb{Z} \cup 3\mathbb{Z}\) est-elle un sous-groupe de \(\mathbb{Z}\) ?
AOui, car une réunion de sous-groupes est un sous-groupe.
BOui, c’est le sous-groupe \(\mathbb{Z}\) tout entier.
CNon, car \(2 + 3 = 5\) n’y appartient pas.
DOui, c’est le sous-groupe \(6\mathbb{Z}\).
Question 9
À quelle condition un morphisme de groupes \(f : G \to G'\) est-il injectif ?
A\(\ker f = G\)
B\(\ker f = \{e_G\}\)
C\(\operatorname{Im} f = G'\)
D\(f(e_G) = e_{G'}\)
Question 10
Lequel de ces anneaux est un corps ?
A\(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\)
B\(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\)
C\(\mathbb{Z}\)
D\(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de groupes en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractérisation d’un sous-groupe et le sous-groupe engendré ;
les morphismes de groupes, leur noyau et leur image ;
l’ordre d’un élément et les groupes cycliques, dont les sous-groupes \(n\mathbb{Z}\) de \(\mathbb{Z}\) ;
le théorème de Lagrange et les classes modulo un sous-groupe ;
la décomposition en cycles d’une permutation et sa signature ;
les définitions d’anneau, de corps et d’idéal.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que la réciproque de Lagrange est vraie. Un groupe d’ordre \(n\) n’a pas forcément de sous-groupe d’ordre \(d\) pour chaque diviseur \(d\) de \(n\) : le groupe alterné \(\mathfrak{A}_4\), d’ordre \(12\), n’a aucun sous-groupe d’ordre \(6\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour l’ordre d’une permutation, décomposez-la d’abord en cycles à supports disjoints et prenez le PPCM des longueurs ; pour l’ordre de \(\,\overline a\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), utilisez directement \(\frac{n}{\mathrm{pgcd}(a, n)}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Comment montrer rapidement qu’une partie \(H\) est un sous-groupe de \(G\) ?
Il suffit de vérifier que \(H\) contient le neutre et que pour tous \(x, y \in H\), \(x y^{-1} \in H\). Mieux encore : reconnaître \(H\) comme le noyau ou l’image d’un morphisme.
Pourquoi un groupe d’ordre premier est-il cyclique ?
Par Lagrange, l’ordre d’un élément \(x \neq e\) divise \(p\) et vaut plus que \(1\), donc vaut \(p\) : \(x\) engendre tout le groupe.
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