Contrôle de maths L2 : séries alternées et semi-convergence

Exercice 1 : Question de cours, le critère spécial des séries alternées (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Soit \((a_n)_{n \geq\, 0}\) une suite réelle décroissante de limite nulle. On pose \(S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k a_k\).

1. Énoncez le critère spécial des séries alternées, y compris la majoration du reste et son signe. (1 point)
2. Démontrez que les suites \((S_{2n})\) et \((S_{2n+1})\) sont adjacentes, et concluez à la convergence de \(\sum (-1)^n a_n\). (2 points)
3. On note \(S\) la somme et \(R_n = S – S_n\). Démontrez que \(|R_n| \leq\, a_{n+1}\) et que \(R_n\) est du signe de \((-1)^{n+1}\). (1 point)

Exercice 2 : Critère de Cauchy et convergence absolue (3 points)

1. Pour \(n \geq\, 1\), on note \(H_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\). Montrez que \(H_{2n} – H_n \geq\, \dfrac{1}{2}\) et déduisez-en, par le critère de Cauchy, que la série harmonique diverge. (1 point)
2. Démontrez, à l’aide du critère de Cauchy, qu’une série réelle absolument convergente est convergente. (1 point)
3. Étudiez la convergence absolue et la convergence des séries \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\sin n}{n^2}\) et \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\cos(n\pi)}{\sqrt{n}}\). (1 point)

Exercice 3 : Séries de Bertrand et développement asymptotique (5 points)

1. Soit \(\beta > 0\). Par comparaison à une intégrale, déterminez selon \(\beta\) la nature de la série de Bertrand \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{1}{n(\ln n)^{\beta}}\). (1,5 point)
2. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \dfrac{(-1)^n}{n \ln n}\) est semi-convergente. (1 point)
3. Soit \(a > 0\). Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{a} + (-1)^n}\). Justifiez que \(u_n\) est bien défini, puis montrez que \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{n^{a}} + v_n\) avec \(v_n = -\dfrac{1}{n^{a}(n^{a} + (-1)^n)}\). (1 point)
4. Déduisez-en, selon \(a\), la nature de \(\sum u_n\) : absolument convergente, semi-convergente ou divergente. (1,5 point)

Exercice 4 : Un produit de Cauchy divergent (3 points)

Pour \(n \geq\, 0\), on pose \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) et \(c_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k a_{n-k}\) (produit de Cauchy de \(\sum a_n\) par elle-même).

1. Montrez que \(\sum a_n\) converge. Est-elle absolument convergente ? (0,5 point)
2. Montrez que \(c_n = (-1)^n \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\), puis que \(|c_n| \geq\, \dfrac{2(n+1)}{n+2}\). (1,5 point)
3. Concluez sur la nature de \(\sum c_n\). Quelle hypothèse du théorème sur le produit de Cauchy fait défaut ici ? (1 point)

Exercice 5 : Problème, transformation d’Abel pour la série de sin(n)/n (5 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(T_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \sin k\) et on pose \(T_0 = 0\).

1. En écrivant \(T_n\) comme la partie imaginaire d’une somme géométrique, montrez que \(|T_n| \leq\, \dfrac{1}{\sin(1/2)}\) pour tout \(n\). (1,5 point)
2. Transformation d’Abel : en écrivant \(\sin k = T_k – T_{k-1}\), montrez que
   \[\sum_{k=1}^{n} \frac{\sin k}{k} = \frac{T_n}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} T_k(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}).\]
   (1,5 point)
3. Déduisez-en que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\sin n}{n}\) converge. (1 point)
4. En utilisant \(|\sin n| \geq\, \sin^2 n = \dfrac{1 – \cos(2n)}{2}\) et en admettant que \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\cos(2n)}{n}\) converge (même méthode), montrez que \(\sum \dfrac{\sin n}{n}\) n’est pas absolument convergente. (1 point)

Réviser avant le contrôle : séries alternées et semi-convergence

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries à termes quelconques » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries à termes quelconques.

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