Contrôle de maths L2 : géométrie affine et barycentres

Exercice 1 : Question de cours : barycentre et applications affines (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soit \(\mathcal{E}\) un espace affine réel de direction \(E\), \(A_1, \ldots, A_n\) des points de \(\mathcal{E}\) et \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) des réels de somme \(\alpha = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n \neq 0\).

1. Démontrez qu’il existe un unique point \(G\) tel que \(\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \vec{GA_i} = \vec{0}\), et exprimez \(\vec{OG}\) pour un point \(O\) quelconque. (2 points)
2. Soit \(f\) une application affine de \(\mathcal{E}\) dans un espace affine \(\mathcal{F}\), de partie linéaire \(\vec{f}\). Démontrez que \(f(G)\) est le barycentre des points pondérés \((f(A_i), \alpha_i)\). (2 points)

Exercice 2 : Plans et droites de l’espace affine (4 points)

L’espace affine \(\mathbb{R}^3\) est muni de son repère canonique. On considère les points \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 2, 0)\) et \(C(0, 0, 3)\).

1. Justifiez que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés, puis déterminez une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P} = (ABC)\). (1 point)
2. Soit \(\mathcal{D}_1\) la droite passant par \(E(2, 1, 0)\) et dirigée par \(\vec{u}(1, 0, -3)\). Montrez que \(\mathcal{D}_1\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\). (1 point)
3. Soit \(\mathcal{D}_2\) la droite passant par l’origine et dirigée par \(\vec{v}(1, 2, 0)\). Donnez un système d’équations cartésiennes de \(\mathcal{D}_2\), puis déterminez le point d’intersection \(I\) de \(\mathcal{D}_2\) et \(\mathcal{P}\). (1 point)
4. Déterminez les coordonnées barycentriques de \(I\) dans le repère affine \((A, B, C)\) du plan \(\mathcal{P}\), et interprétez le résultat. (1 point)

Exercice 3 : Homothéties, translations et projections (4 points)

Dans le plan affine \(\mathbb{R}^2\), on considère les applications définies par

\[f(x, y) = (-2x + 3,\ -2y + 6), \qquad g(x, y) = (x + 2,\ y – 1), \qquad p(x, y) = (\frac{x + y + 1}{2},\ \frac{x + y – 1}{2}).\]

1. Montrez que \(f\) et \(g\) sont affines, donnez leurs parties linéaires et identifiez-les (nature et éléments caractéristiques). (1 point)
2. Déterminez la nature de \(f \circ g\) et ses éléments caractéristiques. Retrouvez son centre à partir de celui de \(f\) et du vecteur de \(g\). (1,5 point)
3. Montrez que \(p \circ p = p\). Déterminez l’ensemble \(\Delta\) des points fixes de \(p\) et le noyau de sa partie linéaire, puis concluez que \(p\) est une projection dont vous préciserez la base et la direction. (1,5 point)

Exercice 4 : Barycentre de trois points et associativité (3 points)

Soit \(ABC\) un triangle du plan et \(G\) le barycentre de \((A, 1)\), \((B, 2)\), \((C, 3)\).

1. On note \(A^{\prime}\) le barycentre de \((B, 2)\) et \((C, 3)\). Montrez que \(G\) appartient au segment \([AA^{\prime}]\) et que \(\vec{AG} = \frac{5}{6}\vec{AA^{\prime}}\). (1 point)
2. Donnez les coordonnées de \(G\) dans le repère \((A ; \vec{AB}, \vec{AC})\). (1 point)
3. Déterminez l’ensemble \(\mathcal{D}\) des points \(M\) du plan tels que le vecteur \(\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC}\) soit colinéaire à \(\vec{BC}\). (1 point)

Exercice 5 : Problème : théorèmes de Ménélaüs et de Céva (5 points)

Soit \(ABC\) un triangle et \(p\), \(q\), \(r\) trois réels distincts de \(0\) et de \(1\). On définit les points \(P \in (BC)\), \(Q \in (CA)\), \(R \in (AB)\) par

\[\vec{PB} = p\,\vec{PC}, \qquad \vec{QC} = q\,\vec{QA}, \qquad \vec{RA} = r\,\vec{RB}.\]

1. Écrivez \(P\), \(Q\) et \(R\) comme barycentres de deux sommets du triangle. (0,5 point)
2. Théorème de Ménélaüs (sens direct) : on suppose \(pqr = 1\). Pour un point \(O\) quelconque, établissez la relation \((1 – p)\vec{OP} + p(1 – q)\vec{OQ} + pq(1 – r)\vec{OR} = \vec{0}\), puis déduisez-en que \(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés. (1,5 point)
3. Théorème de Céva (sens direct) : on suppose \(pqr = -1\) et \(pq + 1 – p \neq 0\). En considérant le barycentre \(G\) de \((A, pq)\), \((B, 1)\), \((C, -p)\), démontrez que les droites \((AP)\), \((BQ)\) et \((CR)\) sont concourantes. (1,5 point)
4. Application : \(P\) est le milieu de \([BC]\) et \(Q\) le point de \([CA]\) tel que \(\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{AC}\). Déterminez \(R\) sur \((AB)\) pour que les trois céviennes soient concourantes, et précisez leur point de concours. Ensuite, déterminez le point \(R^{\prime}\) de \((AB)\) tel que \(P\), \(Q\), \(R^{\prime}\) soient alignés. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : géométrie affine et barycentres

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Géométrie affine » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés géométrie affine.

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