Ce QCM vérifie la maîtrise de la géométrie affine en L2 : espaces et sous-espaces affines, équations d’hyperplans, barycentres, applications affines et partie linéaire, translations, homothéties, projections et symétries, théorèmes de Thalès, Ménélaüs et Céva. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Géométrie affine du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Géométrie affine - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(G\) le barycentre de \((A, 1)\) et \((B, 3)\). Quelle relation est vraie ?
Quelle est une équation du plan affine passant par \(A(1, 0, 0)\), \(B(0, 1, 0)\) et \(C(0, 0, 1)\) ?
A\(x + y + z = 0\)
B\(x + y + z = 1\)
C\(x - y + z = 1\)
D\(x + y + z = 3\)
Question 3
Quelle est la partie linéaire de l’application affine \(f(x, y) = (2x - y + 1,\ x + 3)\) ?
A\((x, y) \mapsto (2x - y + 1,\ x + 3)\)
B\((x, y) \mapsto (2x,\ 3)\)
C\((x, y) \mapsto (2x - y,\ x)\)
D\((x, y) \mapsto (1,\ 3)\)
Question 4
Quelle est la composée de deux homothéties de rapports \(k\) et \(k'\) tels que \(kk' = 1\) ?
AUne translation (éventuellement l’identité)
BUne homothétie de rapport \(1\) et de centre quelconque
CUne homothétie de rapport \(kk'\) dont le centre est le milieu des deux centres
DUne symétrie centrale
Question 5
Quel est le point fixe de l’application affine \(f(x, y) = (2x + 1,\ 3y - 2)\) ?
A\((-1, 1)\)
B\(\left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)\)
C\(f\) n’a pas de point fixe.
D\((1, -1)\)
Question 6
Soit \(ABC\) un triangle et \(P \in (BC)\), \(Q \in (CA)\), \(R \in (AB)\), distincts des sommets. Que dit le théorème de Ménélaüs ?
A\(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés si et seulement si \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\cdot\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\cdot\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = -1\).
B\(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés si et seulement si \(\frac{PB}{PC} + \frac{QC}{QA} + \frac{RA}{RB} = 1\).
C\((AP)\), \((BQ)\), \((CR)\) sont concourantes si et seulement si \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\cdot\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\cdot\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = 1\).
D\(P\), \(Q\), \(R\) sont alignés si et seulement si \(\frac{\overline{PB}}{\overline{PC}}\cdot\frac{\overline{QC}}{\overline{QA}}\cdot\frac{\overline{RA}}{\overline{RB}} = 1\).
Question 7
Que peut-on dire de deux sous-espaces affines ayant la même direction ?
AIls sont toujours égaux.
BIls sont égaux ou disjoints.
CLeur intersection est toujours un hyperplan.
DIls se coupent toujours en un point.
Question 8
Quelles sont les coordonnées barycentriques normalisées (de somme \(1\)) du milieu de \([BC]\) dans le repère affine \((A, B, C)\) ?
À quelle condition une application affine \(f\) d’un espace affine euclidien dans lui-même est-elle une isométrie ?
ASa partie linéaire \(\vec f\) est l’identité (\(f\) est une translation).
BSa partie linéaire \(\vec f\) est une isométrie vectorielle (un élément du groupe orthogonal).
C\(f\) possède un point fixe et sa partie linéaire est bijective.
DSa partie linéaire \(\vec f\) est de déterminant \(1\) ou \(-1\).
Question 10
Dans le plan euclidien usuel, quelle est la nature de \(f(x, y) = (x,\ -y + 2)\) ?
ALa symétrie orthogonale d’axe la droite \(y = 2\)
BLa translation de vecteur \((0, 2)\)
CLa projection orthogonale sur la droite \(y = 1\)
DLa symétrie orthogonale d’axe la droite \(y = 1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de géométrie affine en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les sous-espaces affines, leur direction, le parallélisme et l’intersection ;
les équations d’hyperplans affines dans un repère cartésien ;
les barycentres et les coordonnées barycentriques ;
les applications affines, leur partie linéaire et leurs points fixes ;
les translations, homothéties, projections et symétries ;
les théorèmes de Ménélaüs et de Céva.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire que la composée de deux homothéties est toujours une homothétie. Si les rapports vérifient \(kk’ = 1\), la composée a pour partie linéaire l’identité : c’est une translation (éventuellement l’identité).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour identifier une application affine, calculez d’abord sa partie linéaire \(\vec f\) : elle dit s’il s’agit d’une translation (\(\vec f = \mathrm{id}\)), d’une homothétie (\(\vec f = k\,\mathrm{id}\)), d’une projection (\(\vec f^2 = \vec f\)) ou d’une symétrie (\(\vec f^2 = \mathrm{id}\)) ; cherchez ensuite les points fixes. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre espace affine et espace vectoriel ?
Un espace affine n’a pas d’origine privilégiée : on ne peut pas additionner deux points, seulement ajouter un vecteur à un point. Choisir une origine identifie l’espace affine à sa direction.
Pourquoi les barycentres sont-ils des outils affines ?
Le point \(G\) défini par \(\sum \alpha_i \vec{GA_i} = \vec 0\) (avec \(\sum \alpha_i \neq 0\)) ne dépend d’aucune origine, et une application affine conserve les barycentres : c’est même une caractérisation des applications affines.
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