Contrôle de maths L2 : variables aléatoires discrètes

Exercice 1 : Question de cours : Markov, Bienaymé-Tchebychev et loi faible (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Toutes les variables aléatoires sont discrètes et définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, P)\).

1. Soit \(X\) une variable aléatoire positive admettant une espérance, et \(a > 0\). Énoncez et démontrez l’inégalité de Markov. (1,5 point)
2. Déduisez-en l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour une variable \(X\) admettant une variance. (1 point)
3. Soit \((X_n)_{n \geq\, 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi, d’espérance \(m\) et de variance \(\sigma^2\). On pose \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\). Énoncez et démontrez la loi faible des grands nombres pour \(\frac{S_n}{n}\). (1,5 point)

Exercice 2 : Couple de variables et covariance (3 points)

Le couple \((X, Y)\) prend ses valeurs dans \(\{0, 1\} \times \{0, 1, 2\}\) avec la loi conjointe suivante.

1. Déterminez les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). (0,5 point)
2. Calculez \(E(X)\), \(E(Y)\), \(E(XY)\), puis la covariance \(\operatorname{Cov}(X,Y)\). (1 point)
3. Les variables \(X\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ? Que retenez-vous de cet exemple ? (0,5 point)
4. Calculez \(V(X)\), \(V(Y)\), puis \(V(X+Y)\). (1 point)

Exercice 3 : Fonctions génératrices et lois de Poisson (4 points)

Pour une variable \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on note \(G_X(t) = E(t^X)\) sa fonction génératrice. Soit \(\lambda > 0\) et \(\mu > 0\).

1. Soit \(X\) de loi de Poisson \(\mathcal{P}(\lambda)\). Démontrez que \(G_X(t) = e^{\lambda(t-1)}\) pour tout réel \(t\). (1 point)
2. Retrouvez \(E(X)\) et \(V(X)\) à l’aide de \(G_X\). (1 point)
3. Soit \(Y\) de loi \(\mathcal{P}(\mu)\), indépendante de \(X\). Déterminez la loi de \(X + Y\) à l’aide des fonctions génératrices. (1 point)
4. Un standard reçoit sur sa première ligne un nombre d’appels par heure qui suit la loi \(\mathcal{P}(3)\), et sur sa seconde ligne un nombre qui suit la loi \(\mathcal{P}(2)\), les deux étant indépendants. Calculez la probabilité que le standard reçoive au plus un appel en une heure. (0,5 point)
5. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Déterminez la loi conditionnelle de \(X\) sachant \(X + Y = n\). (0,5 point)

Exercice 4 : Loi géométrique et absence de mémoire (4 points)

Soit \(p \in ]0,1[\) et \(q = 1 – p\). La variable \(X\) suit la loi géométrique \(\mathcal{G}(p)\) : \(P(X = k) = q^{k-1} p\) pour \(k \in \mathbb{N}^*\). On admet que, pour \(|x| < 1\) :

\[\sum_{k=1}^{+\infty} k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \qquad \sum_{k=2}^{+\infty} k(k-1) x^{k-2} = \frac{2}{(1-x)^3}.\]

1. Vérifiez que ces nombres définissent bien une loi de probabilité. (0,5 point)
2. Démontrez que \(X\) admet une espérance et que \(E(X) = \frac{1}{p}\). (1 point)
3. Calculez \(E(X(X-1))\), puis démontrez que \(V(X) = \frac{q}{p^2}\). (1 point)
4. Calculez \(P(X > n)\) pour \(n \in \mathbb{N}\), puis démontrez que \(P_{(X > n)}(X > n + m) = P(X > m)\) pour tous \(n, m \in \mathbb{N}\). (0,5 point)
5. Alice lance un dé équilibré jusqu’à obtenir un six ; au même rythme, Bruno lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile. On note \(X\) et \(Y\) les rangs de leurs premiers succès, supposés indépendants, et \(Z = \min(X, Y)\) le rang du premier succès de l’un des deux. Déterminez la loi de \(Z\) et son espérance. (1 point)

Exercice 5 : Problème : le temps de collection de vignettes (5 points)

Un album comporte \(N \geq\, 2\) vignettes différentes. Chaque paquet acheté contient une vignette, choisie au hasard parmi les \(N\) de façon équiprobable, indépendamment des autres paquets. On note \(T_N\) le nombre de paquets nécessaires pour compléter l’album.

Pour \(1 \leq\, k \leq\, N\), on note \(X_k\) le nombre de paquets achetés après l’obtention de la \((k-1)\)-ième vignette distincte, jusqu’à l’obtention de la \(k\)-ième (inclus). Ainsi \(X_1 = 1\) et \(T_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N\). On admet que les variables \(X_1, \ldots, X_N\) sont indépendantes. On note \(H_N = \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j}\).

1. Expliquez pourquoi \(X_k\) suit la loi géométrique de paramètre \(\frac{N-k+1}{N}\). (1 point)
2. Démontrez que \(E(T_N) = N H_N\). Calculez cette espérance pour \(N = 4\). (1 point)
3. Démontrez que \(V(T_N) \leq\, N^2 \sum_{j=1}^{N} \frac{1}{j^2}\), puis que \(V(T_N) \leq\, 2N^2\). (1,5 point)
4. Soit \(\varepsilon > 0\). À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, démontrez que \(P(|T_N – N H_N| \geq\, \varepsilon N H_N) \leq\, \dfrac{2}{\varepsilon^2 H_N^2}\). Déduisez-en la limite de cette probabilité quand \(N \to +\infty\) et interprétez. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : variables aléatoires discrètes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Variables aléatoires discrètes » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés variables aléatoires discrètes.

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