Contrôle de maths L2 : partiel de S4, séries entières et de Fourier

Exercice 1 : Question de cours : dérivation sous l’intégrale, Dirichlet et Parseval (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

1. Soit \(I\) et \(J\) deux intervalles de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \times J \to \mathbb{R}\). Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour \(F(x) = \int_J f(x, t) \,\mathrm{d}t\), en précisant toutes les hypothèses, dont l’hypothèse de domination. (1,5 point)
2. Soit \(g\) une fonction \(2\pi\)-périodique, continue par morceaux sur \(\mathbb{R}\), de coefficients de Fourier \(a_n(g) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(\theta)\cos(n\theta) \,\mathrm{d}\theta\) et \(b_n(g) = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(\theta)\sin(n\theta) \,\mathrm{d}\theta\). Énoncez le théorème de Dirichlet et la formule de Parseval pour \(g\). (1,5 point)

Exercice 2 : Une série entière et sa somme (4 points)

On considère la série entière \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{x^n}{n(n+1)}\) et l’on note \(S(x)\) sa somme là où elle converge.

1. Déterminez son rayon de convergence \(R\). (0,5 point)
2. En décomposant \(\frac{1}{n(n+1)}\) en éléments simples, montrez que, pour \(x \in ]-1, 1[\) non nul, \(S(x) = 1 + \dfrac{(1 – x)\ln(1 – x)}{x}\). (1,5 point)
3. Montrez que la série converge normalement sur \([-1, 1]\). Déduisez-en la valeur de \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{(-1)^n}{n(n+1)}\). (1 point)
4. Développez en série entière la fonction \(x \mapsto \ln(1 + x – 2x^2)\) au voisinage de \(0\), en précisant le rayon de convergence. (1 point)

Exercice 3 : Intégrale de Gauss à paramètre et série entière (5 points)

On admet que \(\int_0^{+\infty} e^{-t^2} \,\mathrm{d}t = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\). Pour \(x\) réel, on pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2}\cos(xt) \,\mathrm{d}t\).

1. Montrez que \(F\) est définie et de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), et exprimez \(F^{\prime}(x)\) sous forme d’intégrale. (1,5 point)
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrez que \(F^{\prime}(x) = -\dfrac{x}{2}F(x)\). Déduisez-en une expression explicite de \(F\). (1,5 point)
3. Seconde méthode. Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(I_n = \int_0^{+\infty} t^{2n} e^{-t^2} \,\mathrm{d}t\). Montrez que \(I_n = \dfrac{2n – 1}{2} I_{n-1}\) pour \(n \geq\, 1\), puis que \(I_n = \dfrac{(2n)!}{4^n\, n!} \cdot \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\). Ensuite, en développant \(\cos(xt)\) en série entière et en admettant le théorème d’intégration terme à terme (si les \(u_n\) sont continues et intégrables sur \(J\), si \(\sum u_n\) converge simplement vers une fonction continue et si \(\sum \int_J |u_n|\) converge, alors \(\int_J \sum u_n = \sum \int_J u_n\)), retrouvez l’expression de \(F\). (2 points)

Exercice 4 : Problème : noyau de Poisson et intégrale de Poisson (8 points)

Dans tout le problème, \(r\) est un réel de \(]-1, 1[\). On pose, pour \(\theta\) réel,

\[D_r(\theta) = 1 – 2r\cos\theta + r^2 \qquad \text{et} \qquad f_r(\theta) = \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \cos(n\theta).\]

Partie A : une série de Fourier

1. Montrez que la série définissant \(f_r\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\). Déduisez-en que \(f_r\) est continue, \(2\pi\)-périodique et paire. (0,5 point)
2. En écrivant \(r^n\cos(n\theta)\) comme la partie réelle de \((re^{i\theta})^n\), montrez que \(D_r(\theta) > 0\) et que \(f_r(\theta) = \dfrac{1 – r\cos\theta}{D_r(\theta)}\). (1 point)
3. Déterminez les coefficients de Fourier \(a_n(f_r)\) et \(b_n(f_r)\), en justifiant l’intégration terme à terme. (1 point)
4. Vérifiez que \(\dfrac{1 – r^2}{D_r(\theta)} = 2f_r(\theta) – 1\), puis calculez \(\int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{\mathrm{d}\theta}{D_r(\theta)}\). Ensuite, calculez \(\int_{-\pi}^{\pi} f_r(\theta)^2 \,\mathrm{d}\theta\) à l’aide de la formule de Parseval. (1,5 point)

Partie B : une intégrale à paramètre

On pose \(P(r) = \int_0^{\pi} \ln(1 – 2r\cos\theta + r^2) \mathrm{d}\theta\) pour \(r \in ]-1, 1[\).

5. Montrez que \(D_r(\theta) \geq\, (1 – |r|)^2\). Déduisez-en que \(P\) est bien définie et de classe \(C^1\) sur \(]-1, 1[\). (1,5 point)
6. Pour \(r \neq 0\), montrez que \(\dfrac{r – \cos\theta}{D_r(\theta)} = \dfrac{1 – f_r(\theta)}{r}\). Déduisez-en \(P^{\prime}(r)\), puis la valeur de \(P(r)\) pour tout \(r \in ]-1, 1[\). (1,5 point)
7. Seconde méthode. Pour \(\theta\) fixé, montrez que \(\ln D_r(\theta) = -2\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{r^n\cos(n\theta)}{n}\), puis retrouvez la valeur de \(P(r)\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : partiel de S4, séries entières et de Fourier

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries entières » en L2 et « Intégrales à paramètre » en L2 et « Séries de Fourier » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries entières, intégrales à paramètre, séries de fourier.

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