Ce QCM vérifie la maîtrise des fonctions de plusieurs variables en L2 : limites et continuité, restrictions à des courbes, dérivées directionnelles et partielles, gradient, classe \(C^1\) et règle de la chaîne. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Plusieurs variables : limites et dérivées partielles du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Fonctions de plusieurs variables - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\). \(f\) a-t-elle une limite en \((0, 0)\) ?
AOui, elle vaut \(0\), car \(f(x, 0) = f(0, y) = 0\).
BOui, elle vaut \(\frac{1}{2}\).
CNon : \(f(x, 0) = 0\) alors que \(f(x, x) = \frac{1}{2}\).
DOui, elle vaut \(0\), car \(|xy| \leqslant x^2 + y^2\).
Question 2
Quelle est la limite en \((0, 0)\) de \(f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\) ?
A\(0\), car \(|f(x, y)| \leqslant |y|\)
BElle n’existe pas, car \(f(x, x) = \frac{x}{2}\).
C\(1\), car \(\frac{x^2}{x^2 + y^2} \to 1\).
DElle n’existe pas, car le dénominateur s’annule.
Question 3
Pour \(f(x, y) = x^2 y + e^{xy}\), que vaut \(\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\) ?
A\(2x + y\,e^{xy}\)
B\(2xy + e^{xy}\)
C\(2xy + y\,e^{xy}\)
D\(x^2 + x\,e^{xy}\)
Question 4
Quel est le gradient de \(f(x, y) = x^2 + 3xy\) au point \((1, 2)\) ?
A\((5, 3)\)
B\((8, 3)\)
C\((2, 3)\)
D\((8, 6)\)
Question 5
Quand dit-on que \(f : U \to \mathbb{R}\), avec \(U\) ouvert de \(\mathbb{R}^n\), est de classe \(C^1\) sur \(U\) ?
ASes dérivées partielles existent en tout point de \(U\).
B\(f\) admet en tout point des dérivées selon tous les vecteurs.
C\(f\) est continue et admet des dérivées partielles sur \(U\).
DSes dérivées partielles existent et sont continues sur \(U\).
Question 6
La fonction \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}\), prolongée par \(f(0, 0) = 0\), a des dérivées partielles nulles en \((0, 0)\). Qu’illustre cet exemple ?
AUne fonction qui a des dérivées partielles nulles en un point y est constante au voisinage.
BL’existence des dérivées partielles en un point entraîne la continuité en ce point.
CUne fonction discontinue n’a jamais de dérivées partielles.
DL’existence des dérivées partielles en un point n’entraîne pas la continuité en ce point.
Question 7
Soit \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) et \(g(t) = f(t^2, e^t)\). Que vaut \(g'(t)\) ?
Pour \(f(x, y) = x^2 + y^2\), quelle est la dérivée de \(f\) au point \((1, 1)\) selon le vecteur \(v = (1, 2)\) ?
A\(\frac{6}{\sqrt 5}\)
B\(3\)
C\(6\)
D\(4\)
Question 9
Soit \(K\) une partie compacte non vide de \(\mathbb{R}^n\) et \(f : K \to \mathbb{R}\) continue. Que peut-on affirmer ?
A\(f\) est lipschitzienne sur \(K\).
B\(f\) atteint ses bornes seulement si \(K\) est convexe.
C\(f\) est bornée mais n’atteint pas forcément ses bornes.
D\(f\) est bornée et atteint ses bornes sur \(K\).
Question 10
Soit \(f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}\) pour \((x, y) \neq (0, 0)\). Sa restriction à toute droite passant par l’origine tend vers \(0\). Que peut-on conclure ?
A\(f\) tend vers \(0\) en \((0, 0)\), car \(|f(x, y)| \leqslant |y|\).
B\(f\) n’a pas de limite en \((0, 0)\), car \(f(x, x^2) = \frac{1}{2}\).
COn ne peut pas conclure sans passer en coordonnées polaires.
D\(f\) tend vers \(0\) en \((0, 0)\), car toutes les restrictions aux droites tendent vers \(0\).
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de fonctions de plusieurs variables en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la limite et la continuité en un point de \(\mathbb{R}^2\), par majoration ou coordonnées polaires ;
la non-existence d’une limite par restriction à des droites ou à des courbes ;
les dérivées partielles, les dérivées directionnelles et le gradient ;
les fonctions de classe \(C^1\) et la règle de la chaîne ;
les bornes atteintes par une fonction continue sur un compact.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’une fonction qui admet des dérivées partielles en un point y est continue. \(\frac{xy}{x^2+y^2}\) (prolongée par \(0\)) a des dérivées partielles nulles en \((0,0)\) sans y être continue.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour prouver qu’une limite existe, majorez \(|f(x,y) – \ell|\) par une quantité qui ne dépend que de \(\|(x,y)\|\) ; pour prouver qu’elle n’existe pas, exhibez deux chemins donnant des limites différentes, en pensant aux paraboles quand les droites ne suffisent pas. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Les coordonnées polaires suffisent-elles à prouver une limite ?
Seulement si la majoration obtenue est uniforme en \(\theta\) : il faut \(|f(r\cos\theta, r\sin\theta) – \ell| \leq\, g(r)\) avec \(g(r) \to 0\). Une limite nulle à \(\theta\) fixé ne suffit pas.
Comment montrer qu’une fonction est de classe \(C^1\) ?
On montre que ses dérivées partielles existent et sont continues sur l’ouvert ; aux points délicats, on calcule les dérivées partielles par taux d’accroissement puis on étudie leur continuité.
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