Variables aléatoires discrètes : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des variables aléatoires discrètes en L2 : lois usuelles, espérance et théorème de transfert, variance et covariance, indépendance, fonctions génératrices, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Variables aléatoires discrètes du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Variables aléatoires discrètes - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelle est la variance d’une variable \(X\) de loi géométrique de paramètre \(p \in ]0, 1[\) (sur \(\mathbb{N}^{*}\)) ?

A \(\frac{1 - p}{p}\)

B \(\frac{1 - p}{p^2}\)

C \(\frac{1}{p}\)

D \(p(1 - p)\)

Question 2

Si \(X \sim \mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y \sim \mathcal{P}(\mu)\) sont indépendantes, quelle est la loi de \(X + Y\) ?

A Ce n’est pas une loi de Poisson en général.

B \(\mathcal{P}(\lambda\mu)\)

C \(\mathcal{P}(\lambda + \mu)\)

D \(\mathcal{P}\left(\frac{\lambda + \mu}{2}\right)\)

Question 3

Quelle est la fonction génératrice de \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\) ?

A \(G_X(t) = (p + t)^n\)

B \(G_X(t) = (1 - p + pt)^n\)

C \(G_X(t) = (1 - p + t)^n\)

D \(G_X(t) = p^n t^n\)

Question 4

\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{1, 2, \ldots, 6\}\). Que vaut \(E(X^2)\) ?

A \(\frac{49}{4}\)

B \(\frac{91}{6}\)

C \(21\)

D \(\frac{35}{12}\)

Question 5

Si \(V(X) = 5\), que vaut \(V(3 - 2X)\) ?

A \(-10\)

B \(23\)

C \(-7\)

D \(20\)

Question 6

\(X \sim \mathcal{B}(100, \frac{1}{2})\). Quelle majoration de \(P(|X - 50| \geqslant 10)\) donne l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

A \(\frac{5}{2}\)

B \(\frac{1}{20}\)

C \(\frac{1}{4}\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 7

\(X\) est uniforme sur \(\{-1, 0, 1\}\) et \(Y = X^2\). Quelle affirmation est correcte ?

A \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\), donc \(X\) et \(Y\) sont indépendantes.

B \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, car \(E(XY) = E(X)E(Y)\).

C \(\mathrm{Cov}(X, Y) \neq 0\), car \(Y\) dépend de \(X\).

D \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\), mais \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Question 8

On tire sans remise \(4\) boules dans une urne contenant \(3\) boules rouges et \(7\) blanches. Quelle est l’espérance du nombre \(X\) de boules rouges tirées ?

A \(\frac{6}{5}\)

B \(\frac{4}{3}\)

C \(\frac{12}{7}\)

D \(\frac{3}{4}\)

Question 9

Quel est l’énoncé de l’inégalité de Markov ?

A Si \(X \geqslant 0\) admet une espérance, alors \(P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E(X)}{a}\) pour tout \(a > 0\).

B Si \(X \geqslant 0\) admet une espérance, alors \(P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E(X)}{a^2}\) pour tout \(a > 0\).

C Si \(X\) admet une espérance, alors \(P(X \geqslant a) \leqslant \frac{E(X)}{a}\) pour tout \(a > 0\), sans hypothèse de signe.

D Si \(X \geqslant 0\) admet une espérance, alors \(P(X \geqslant a) \geqslant \frac{E(X)}{a}\) pour tout \(a > 0\).

Question 10

Soit \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) avec \(P(X = n) = \frac{6}{\pi^2 n^2}\). \(X\) admet-elle une espérance ?

A Oui, car \(\sum P(X = n)\) converge.

B Oui, et elle vaut \(\frac{6}{\pi^2}\).

C Oui, car \(P(X = n) \to 0\).

D Non, car \(\sum n\,P(X = n) = \sum \frac{6}{\pi^2 n}\) diverge.

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de variables aléatoires discrètes en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les lois usuelles : Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, géométrique, Poisson ;
l’espérance, définie par une série absolument convergente, et le théorème de transfert ;
la variance, la covariance et l’indépendance ;
les fonctions génératrices et la loi d’une somme de variables indépendantes ;
les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, et la loi faible des grands nombres.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : conclure à l’indépendance à partir d’une covariance nulle. Si \(X\) est uniforme sur \(\{-1, 0, 1\}\) et \(Y = X^2\), alors \(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\), alors que \(Y\) est une fonction de \(X\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une somme de variables indépendantes, pensez d’abord aux fonctions génératrices : \(G_{X+Y} = G_X\,G_Y\), et l’on reconnaît souvent la loi obtenue (binomiale, Poisson) sans aucun calcul de convolution. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Variables aléatoires discrètes, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Différentielle et extrema, Espaces probabilisés, Suites et séries de fonctions, Séries entières. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi exige-t-on la convergence absolue dans la définition de l’espérance ?

Pour que la valeur de \(\sum x_n P(X = x_n)\) ne dépende pas de l’ordre d’énumération des valeurs de \(X\) ; une série semi-convergente pourrait, réordonnée, donner n’importe quelle somme.

À quoi sert l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev si elle est souvent grossière ?

Elle est valable pour toute variable de variance finie et suffit à démontrer la loi faible des grands nombres : \(P(|\overline{X}_n – m| \geq\, \varepsilon) \leq\, \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \to 0\).

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