Diagonalisation : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des valeurs propres et de la diagonalisation en L2 : sous-espaces propres, polynôme caractéristique, multiplicités, critères de diagonalisabilité et applications aux puissances, aux suites récurrentes et aux systèmes différentiels. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Valeurs propres et diagonalisation du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Diagonalisation - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(u\) un endomorphisme d’un espace vectoriel \(E\) de dimension finie. À quelle condition le scalaire \(\lambda\) est-il valeur propre de \(u\) ?

A \(\det(u) = \lambda\)

B \(\ker(u - \lambda\,\mathrm{id}_E) \neq \{0\}\)

C \(u - \lambda\,\mathrm{id}_E\) est inversible

D \(\operatorname{Im}(u - \lambda\,\mathrm{id}_E) = E\)

Question 2

Quelles sont les valeurs propres de \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ?

A \(2\) (double)

B \(1\) et \(3\)

C \(1\) et \(4\)

D \(-1\) et \(3\)

Question 3

Une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) qui possède \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes est nécessairement :

A diagonalisable

B inversible

C symétrique

D de trace non nulle

Question 4

Quel critère caractérise la diagonalisabilité de \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) ?

A \(A\) est inversible et \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{K}\).

B Pour chaque valeur propre, \(\dim E_{\lambda}\) est au moins égale à la multiplicité de \(\lambda\), sans condition sur \(\chi_A\).

C \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{K}\).

D \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{K}\) et, pour chaque valeur propre, \(\dim E_{\lambda}\) égale la multiplicité de \(\lambda\).

Question 5

La matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) est-elle diagonalisable ?

A Non, car elle n’est pas inversible.

B Oui, car son polynôme caractéristique est scindé.

C Oui, car elle est triangulaire.

D Non, car \(\dim E_1 = 1\) alors que \(1\) est valeur propre double.

Question 6

Que dire de \(A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) ?

A Elle est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\) mais pas dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

B Elle n’est diagonalisable ni sur \(\mathbb{R}\) ni sur \(\mathbb{C}\).

C Elle est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) car elle est orthogonale.

D Elle est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).

Question 7

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), quel est le coefficient en position \((1,2)\) de \(A^n\) ?

A \(2^{n-1}\)

B \(n\)

C \(2^n - 1\)

D \(2^n\)

Question 8

On étudie \(u_{n+2} = u_{n+1} + 2u_n\) via \(X_{n+1} = A X_n\), avec \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ u_{n+1} \end{pmatrix}\). Quelle forme a \(u_n\) ?

A \(u_n = a\,2^n + b\)

B \(u_n = a\,(-2)^n + b\)

C \(u_n = a\,2^n + b\,n\,2^n\)

D \(u_n = a\,2^n + b\,(-1)^n\)

Question 9

Avec \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), laquelle de ces fonctions est solution du système \(X' = AX\) ?

A \(t \mapsto e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

B \(t \mapsto e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

C \(t \mapsto e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\)

D \(t \mapsto e^{t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Question 10

Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) diagonalisable ayant une seule valeur propre \(\lambda\). Que peut-on affirmer ?

A \(A\) est triangulaire, de diagonale constante égale à \(\lambda\), sans être forcément scalaire.

B \(A - \lambda I_n\) est nilpotente non nulle.

C \(A = \lambda I_n\)

D \(A\) est de rang \(1\).

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de diagonalisation en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les valeurs propres, vecteurs propres et sous-espaces propres \(E_{\lambda} = \ker(u – \lambda\,\mathrm{id})\) ;
le polynôme caractéristique \(\chi_A = \det(X I_n – A)\) ;
les multiplicités algébrique et géométrique et l’inégalité \(1 \leq\, \dim E_{\lambda} \leq\, m_{\lambda}\) ;
les critères de diagonalisabilité et la somme directe des sous-espaces propres ;
le calcul de puissances \(A^n = P D^n P^{-1}\), les suites récurrentes et les systèmes différentiels \(X’ = AX\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire qu’un polynôme caractéristique scindé suffit. La matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) a \(\chi = (X-1)^2\), scindé, mais son sous-espace propre est de dimension \(1\) : elle n’est pas diagonalisable.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour chaque valeur propre multiple, calculez \(\dim E_{\lambda} = n – \mathrm{rg}(A – \lambda I_n)\) et comparez-la à la multiplicité ; pour une valeur propre simple, inutile : la dimension vaut forcément \(1\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Valeurs propres et diagonalisation, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Séries à termes quelconques, Intégrales généralisées, Trigonalisation et Cayley-Hamilton, Arithmétique et Z/nZ. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Une matrice réelle peut-elle être diagonalisable sur \(\mathbb{C}\) sans l’être sur \(\mathbb{R}\) ?

Oui : la rotation \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) a pour valeurs propres \(\pm i\), distinctes, donc elle est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{C})\), mais elle n’a aucune valeur propre réelle.

Pourquoi la somme des sous-espaces propres est-elle directe ?

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre ; on le montre par récurrence en appliquant \(u – \lambda_k\,\mathrm{id}\) à une relation de dépendance.