Contrôle de maths L2 : séries de Fourier et égalité de Parseval

Exercice 1 : Question de cours : Dirichlet, Parseval et convergence normale (4 points)

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Dans tout le sujet, pour une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) continue par morceaux et \(2\pi\)-périodique, on note, pour \(n \in \mathbb{Z}\) et \(k \in \mathbb{N}\),
\[c_n(f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int}\, dt, \qquad a_k(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(kt)\, dt, \qquad b_k(f) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(kt)\, dt,\]
et \(S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f) e^{inx}\) la somme partielle d’ordre \(N\).

1. Énoncez le théorème de Dirichlet pour une fonction \(2\pi\)-périodique de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux. (1 point)
2. Énoncez l’égalité de Parseval, avec les coefficients \(c_n\) puis avec les coefficients \(a_k\) et \(b_k\) pour une fonction à valeurs réelles. (1 point)
3. On suppose \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) et de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux. Démontrez que \(c_n(f^{\prime}) = in\, c_n(f)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\). (1 point)
4. Sous les mêmes hypothèses, démontrez que la série \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|\) converge, puis que la série de Fourier de \(f\) converge normalement vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 2 : Le signal créneau (5 points)

On note \(f\) la fonction \(2\pi\)-périodique impaire définie par \(f(t) = 1\) pour \(t \in ]0, \pi[\), \(f(0) = f(\pi) = 0\).

1. Calculez les coefficients \(a_k(f)\) et \(b_k(f)\). (2 points)
2. Justifiez que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = \dfrac{4}{\pi} \sum_{p \geq\, 0} \dfrac{\sin((2p+1)x)}{2p+1}\), puis calculez \(\displaystyle \sum_{p \geq\, 0} \frac{(-1)^p}{2p+1}\). (1,5 point)
3. À l’aide de l’égalité de Parseval, calculez \(\displaystyle \sum_{p \geq\, 0} \frac{1}{(2p+1)^2}\), puis retrouvez la valeur de \(\displaystyle \zeta(2) = \sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^2}\). (1,5 point)

Exercice 3 : Valeur absolue du sinus (4 points)

On considère la fonction \(g : x \mapsto |\sin x|\), continue et \(2\pi\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).

1. Démontrez que \(b_k(g) = 0\) pour tout \(k\), que \(a_k(g) = 0\) pour \(k\) impair, et que \(a_0(g) = \dfrac{4}{\pi}\) et \(a_{2p}(g) = -\dfrac{4}{\pi(4p^2 – 1)}\) pour \(p \geq\, 1\). (2 points)
2. Justifiez que la série de Fourier de \(g\) converge normalement vers \(g\), puis calculez \(\displaystyle \sum_{p \geq\, 1} \frac{1}{4p^2 – 1}\) de deux manières. (1 point)
3. Calculez \(\displaystyle \sum_{p \geq\, 1} \frac{1}{(4p^2 – 1)^2}\). (1 point)

Exercice 4 : Problème : dent de scie, parabole et zêta de 4 (7 points)

On note \(\varphi\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(\varphi(t) = t\) pour \(t \in ]-\pi, \pi[\) et \(\varphi(\pi) = 0\) (dent de scie), et \(h\) la fonction \(2\pi\)-périodique définie par \(h(t) = t^2\) pour \(t \in [-\pi, \pi]\).

1. Calculez les coefficients \(a_k(\varphi)\) et \(b_k(\varphi)\). (1,5 point)
2. Déduisez de l’égalité de Parseval appliquée à \(\varphi\) la valeur de \(\zeta(2)\). (1 point)
3. Justifiez que \(h\) est continue et de classe \(\mathcal{C}^1\) par morceaux, avec \(h^{\prime} = 2\varphi\) sauf en un nombre fini de points par période. Déduisez-en les coefficients de Fourier de \(h\) : \(a_0(h) = \dfrac{2\pi^2}{3}\) et \(a_k(h) = \dfrac{4(-1)^k}{k^2}\) pour \(k \geq\, 1\). (2 points)
4. Écrivez l’égalité entre \(h\) et sa série de Fourier en justifiant la convergence. En choisissant deux valeurs de \(x\), calculez \(\zeta(2)\) et \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\). (1,5 point)
5. En appliquant l’égalité de Parseval à \(h\), démontrez que \(\displaystyle \zeta(4) = \sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : séries de Fourier et égalité de Parseval

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries de Fourier » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries de fourier.

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