Corrigé du contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et calculs de longueurs à télécharger en PDF

Exercice 1 : Triangles emboîtés (4 points)

1. Les points \(A\), \(M\), \(B\) sont alignés, les points \(A\), \(N\), \(C\) sont alignés et les droites \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles.
   D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\), soit \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{AN}{8} = \dfrac{4{,}5}{BC}\).
2. Avec \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{AN}{8}\) : \(AN = \dfrac{6 \times 8}{10} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8\).
   \(AN = 4{,}8\text{ cm}\).
3. Avec \(\dfrac{6}{10} = \dfrac{4{,}5}{BC}\) : \(BC = \dfrac{4{,}5 \times 10}{6} = \dfrac{45}{6} = 7{,}5\).
   \(BC = 7{,}5\text{ cm}\).
4. \(N\) appartient à \([AC]\), donc \(NC = AC – AN = 8 – 4{,}8 = 3{,}2\).
   \(NC = 3{,}2\text{ cm}\).

Erreur fréquente : écrire \(\frac{AM}{MB}\) au lieu de \(\frac{AM}{AB}\). Dans les rapports de Thalès, on compare toujours les côtés du petit triangle \(AMN\) à ceux du grand triangle \(ABC\).

Barème : a) 1,5 point : 1 point pour les trois hypothèses (alignements et parallélisme), 0,5 point pour l’égalité des rapports ; b) 1 point : 0,5 point pour le produit en croix, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; c) 1 point, même répartition ; d) 0,5 point.

Exercice 2 : Configuration papillon (4 points)

1. Les points \(D\), \(O\), \(F\) sont alignés, les points \(E\), \(O\), \(G\) sont alignés et les droites \((DE)\) et \((FG)\) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{OD}{OF} = \dfrac{OE}{OG} = \dfrac{DE}{FG}\), soit \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{4}{OG} = \dfrac{DE}{9}\).
2. Avec \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{4}{OG}\) : \(OG = \dfrac{4 \times 7{,}5}{3} = \dfrac{30}{3} = 10\).
   \(OG = 10\text{ cm}\).
3. Avec \(\dfrac{3}{7{,}5} = \dfrac{DE}{9}\) : \(DE = \dfrac{3 \times 9}{7{,}5} = \dfrac{27}{7{,}5} = 3{,}6\).
   \(DE = 3{,}6\text{ cm}\).

Contrôle : le coefficient de réduction est \(\frac{3}{7{,}5} = 0{,}4\) et on a bien \(10 \times 0{,}4 = 4\) et \(9 \times 0{,}4 = 3{,}6\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour les hypothèses, 0,5 point pour l’égalité des rapports ; b) 1,5 point : 1 point pour le produit en croix, 0,5 point pour le résultat ; c) 1,5 point, même répartition.

Exercice 3 : Thalès et Pythagore (4 points)

1. La droite \((EF)\) est perpendiculaire à \((AB)\), et la droite \((AC)\) est perpendiculaire à \((AB)\) car le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
   Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
   Donc les droites \((EF)\) et \((AC)\) sont parallèles.
2. \(E\) appartient à \([AB]\), donc \(AB = BE + EA = 4{,}5 + 1{,}5 = 6\text{ cm}\).
   Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), donc d’après le théorème de Pythagore :
   \(BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
   \(BC = \sqrt{100} = 10\)
   \(BC = 10\text{ cm}\).
3. Les points \(B\), \(E\), \(A\) sont alignés, les points \(B\), \(F\), \(C\) sont alignés et \((EF)\) est parallèle à \((AC)\). D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{EF}{AC}\), soit \(\dfrac{4{,}5}{6} = \dfrac{BF}{10} = \dfrac{EF}{8}\).
   \(BF = \dfrac{4{,}5 \times 10}{6} = \dfrac{45}{6} = 7{,}5\) et \(EF = \dfrac{4{,}5 \times 8}{6} = \dfrac{36}{6} = 6\).
   \(BF = 7{,}5\text{ cm}\) et \(EF = 6\text{ cm}\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour les deux perpendiculaires, 0,5 point pour la propriété citée ; b) 1,5 point : 0,5 point pour \(AB = 6\text{ cm}\), 0,5 point pour l’égalité de Pythagore, 0,5 point pour le résultat ; c) 1,5 point : 0,5 point pour les hypothèses et les rapports, 0,5 point par longueur.

Exercice 4 : L’ombre de l’arbre (4 points)

1. \(L\) appartient à \([ST]\), donc \(ST = SL + LT = 2 + 9 = 11\text{ m}\).
   Lina et l’arbre sont verticaux et le sol est horizontal : les droites \((LH)\) et \((TA)\) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite \((ST)\).
   Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles.
   Donc \(ST = 11\text{ m}\) et les droites \((LH)\) et \((TA)\) sont parallèles.
2. Les points \(S\), \(L\), \(T\) sont alignés, les points \(S\), \(H\), \(A\) sont alignés et \((LH)\) est parallèle à \((TA)\). D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{SL}{ST} = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{LH}{TA}\), soit \(\dfrac{2}{11} = \dfrac{SH}{SA} = \dfrac{1{,}6}{TA}\).
   \(TA = \dfrac{1{,}6 \times 11}{2} = \dfrac{17{,}6}{2} = 8{,}8\).
   L’arbre mesure \(8{,}8\text{ m}\) de haut.
3. Le triangle \(STA\) est rectangle en \(T\), donc d’après le théorème de Pythagore :
   \(SA^2 = ST^2 + TA^2 = 11^2 + 8{,}8^2 = 121 + 77{,}44 = 198{,}44\)
   \(SA = \sqrt{198{,}44} \approx 14{,}09\)
   \(SA \approx 14{,}1\text{ m}\).

Erreur fréquente : utiliser \(LT = 9\text{ m}\) à la place de \(ST = 11\text{ m}\) dans les rapports. Les rapports partent tous du sommet commun \(S\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour \(ST\), 0,5 point pour la justification du parallélisme ; b) 2 points : 0,5 point pour les hypothèses, 0,5 point pour l’égalité des rapports, 0,5 point pour le produit en croix, 0,5 point pour le résultat avec l’unité ; c) 1 point : 0,5 point pour Pythagore, 0,5 point pour l’arrondi.

Exercice 5 : La rampe d’accès (4 points)

1. Les droites \((DE)\) et \((BC)\) sont verticales, donc perpendiculaires au sol \((AB)\) : elles sont parallèles (deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles).
   Les points \(A\), \(E\), \(B\) sont alignés, les points \(A\), \(D\), \(C\) sont alignés et \((DE)\) est parallèle à \((BC)\). D’après le théorème de Thalès :
   \(\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\), soit \(\dfrac{4}{6} = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DE}{0{,}30}\).
   \(DE = \dfrac{4 \times 0{,}30}{6} = \dfrac{1{,}2}{6} = 0{,}2\).
   Le poteau mesure \(0{,}2\text{ m}\), soit 20 cm.
2. \(\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{0{,}30}{6} = 0{,}05 = 5\,\%\).
   La pente est égale à \(5\,\%\), donc inférieure ou égale à \(5\,\%\).
   La rampe est conforme à la réglementation.
3. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), donc d’après le théorème de Pythagore :
   \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 0{,}3^2 = 36 + 0{,}09 = 36{,}09\)
   \(AC = \sqrt{36{,}09} \approx 6{,}0075\)
   La rampe mesure environ \(6{,}01\text{ m}\).

Barème : a) 2 points : 0,5 point pour le parallélisme justifié, 0,5 point pour les rapports, 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conversion en centimètres ; b) 1 point : 0,5 point pour le calcul de la pente, 0,5 point pour la conclusion ; c) 1 point : 0,5 point pour Pythagore, 0,5 point pour l’arrondi au centimètre.

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Après le corrigé du contrôle : théorème de Thalès et calculs de longueurs

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