Corrigé du contrôle de maths 1ère : indépendance et probabilités totales

Exercice 1 : Questions flash sur l’indépendance (4 points)

1. \(P(A) \times P(B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Comme \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.
2. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}4 – 0{,}2 = 0{,}7\). \(P(A \cup B) = 0{,}7\).
3. L’événement \(\overline{A} \cap \overline{B}\) est le contraire de \(A \cup B\) : \(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 – 0{,}7 = 0{,}3\).

   D’autre part, \(P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) = 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3\). Les deux nombres sont égaux à \(0{,}3\) : \(\overline{A}\) et \(\overline{B}\) sont eux aussi indépendants.

4. \(P(A) \times P(C) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15 \neq 0{,}1 = P(A \cap C)\), donc \(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants.

   \(P_C(A) = \dfrac{P(A \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0{,}1}{0{,}3} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\). Comme \(\frac{1}{3} < 0{,}5 = P(A)\), savoir que \(C\) est réalisé rend \(A\) moins probable.

Barème : a) 0,5 point pour le produit, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point par calcul ; d) 0,5 point pour la non-indépendance, 0,5 point pour \(P_C(A)\) et l’interprétation.

Exercice 2 : Les adhérents de la médiathèque (4 points)

1. \(L\) contient \(90 + 30 = 120\) adhérents et \(F\) en contient \(30 + 20 = 50\). On est en situation d’équiprobabilité :

   \(P(L) = \dfrac{120}{200} = 0{,}6\) ; \(P(F) = \dfrac{50}{200} = 0{,}25\) ; \(P(L \cap F) = \dfrac{30}{200} = 0{,}15\).

   \(P(L) = 0{,}6\), \(P(F) = 0{,}25\) et \(P(L \cap F) = 0{,}15\).

2. \(L \cap \overline{F}\) est l’événement « l’adhérent emprunte des livres mais pas de films ». Il correspond aux 90 adhérents de la zone de \(L\) située hors de \(F\) : \(P(L \cap \overline{F}) = \dfrac{90}{200} = 0{,}45\). \(P(L \cap \overline{F}) = 0{,}45\).
3. \(P(L) \times P(F) = 0{,}6 \times 0{,}25 = 0{,}15 = P(L \cap F)\). Les événements \(L\) et \(F\) sont indépendants.
4. Comme \(L\) et \(F\) sont indépendants et \(P(F) \neq 0\), on a \(P_F(L) = P(L)\). \(P_F(L) = 0{,}6\) (on peut vérifier : \(\frac{30}{50} = 0{,}6\)).

Erreur fréquente : compter 90 au lieu de 120 pour \(L\). La zone commune (30) appartient aux deux ensembles.

Barème : a) 0,5 point par probabilité ; b) 0,5 point pour la phrase, 0,5 point pour la probabilité ; c) 0,5 point pour le produit, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point avec la justification.

Exercice 3 : Fiabilité d’un montage électronique (4 points)

1. On note \(E_1\) l’événement « \(C_1\) fonctionne » et \(E_2\) l’événement « \(C_2\) fonctionne ». Ils sont indépendants, donc :

   \(P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2) = 0{,}9 \times 0{,}8 = 0{,}72\).

   Le courant passe dans le montage 1 avec la probabilité \(0{,}72\).

2. Le courant ne passe pas dans le montage 2 si les deux composants tombent en panne, c’est-à-dire si \(\overline{E_1} \cap \overline{E_2}\) est réalisé. \(E_1\) et \(E_2\) étant indépendants, leurs contraires le sont aussi :

   \(P(\overline{E_1} \cap \overline{E_2}) = 0{,}1 \times 0{,}2 = 0{,}02\).

   La probabilité que le courant passe vaut donc \(1 – 0{,}02 = 0{,}98\). Le courant passe dans le montage 2 avec la probabilité \(0{,}98\).

3. Avec \(n\) composants indépendants en parallèle, le courant ne passe pas si les \(n\) composants tombent en panne, ce qui arrive avec la probabilité \(0{,}2^n\). La probabilité que le courant passe vaut \(1 – 0{,}2^n\).

   Pour \(n = 2\) : \(1 – 0{,}2^2 = 1 – 0{,}04 = 0{,}96\), qui n’est pas supérieur à \(0{,}99\).

   Pour \(n = 3\) : \(1 – 0{,}2^3 = 1 – 0{,}008 = 0{,}992 > 0{,}99\).

   Il faut au moins 3 composants en parallèle.

Erreur fréquente : additionner \(0{,}9 + 0{,}8\) pour le montage en parallèle : on obtient un nombre supérieur à 1, ce qui ne peut pas être une probabilité. Il faut passer par l’événement contraire.

Barème : a) 0,5 point pour l’indépendance citée, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour l’événement contraire, 0,5 point pour \(0{,}02\), 0,5 point pour \(0{,}98\) ; c) 0,5 point pour l’expression \(1 – 0{,}2^n\), 0,5 point pour les essais, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 4 : Randonnée et météo (5 points)

1. \(P(P) = 1 – 0{,}5 – 0{,}3 = 0{,}2\) ; \(P_S(\overline{R}) = 0{,}1\) ; \(P_N(R) = 0{,}6\) ; \(P_P(R) = 0{,}1\) et \(P_P(\overline{R}) = 0{,}9\).

   

2. Les événements \(S\), \(N\) et \(P\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :

   \(P(R) = P(S \cap R) + P(N \cap R) + P(P \cap R)\)

   \(P(R) = 0{,}5 \times 0{,}9 + 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}2 \times 0{,}1 = 0{,}45 + 0{,}18 + 0{,}02 = 0{,}65\).

   On a bien \(P(R) = 0{,}65\).

3. \(P_R(S) = \dfrac{P(S \cap R)}{P(R)} = \dfrac{0{,}45}{0{,}65} = \dfrac{45}{65} = \dfrac{9}{13} \approx 0{,}692\). Sachant qu’Inès est partie en randonnée, la probabilité que le matin ait été ensoleillé est \(\frac{9}{13} \approx 0{,}692\).
4. \(P(S) \times P(R) = 0{,}5 \times 0{,}65 = 0{,}325\), alors que \(P(S \cap R) = 0{,}45\). Ces nombres sont différents, donc \(S\) et \(R\) ne sont pas indépendants : la météo influence la décision d’Inès (on a d’ailleurs \(P_S(R) = 0{,}9 \neq 0{,}65 = P(R)\)).

Barème : a) 0,2 point par pondération manquante ; b) 0,5 point pour la partition, 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le calcul ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la fraction, 0,5 point pour l’arrondi et la phrase ; d) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 5 : Un lancer de dé (3 points)

1. Le dé est équilibré : on est en situation d’équiprobabilité sur \(\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\).

   \(A = \{2 ; 4 ; 6\}\), donc \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) ; \(B = \{1 ; 2 ; 3 ; 4\}\), donc \(P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

   \(A \cap B = \{2 ; 4\}\), donc \(P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Or \(P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

   \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\) : les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants.

2. \(C = \{1 ; 2 ; 3\}\), donc \(P(C) = \frac{1}{2}\) ; \(A \cap C = \{2\}\), donc \(P(A \cap C) = \frac{1}{6}\). Or \(P(A) \times P(C) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{6}\). Les événements \(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants.
3. Si \(E\) et \(F\) sont incompatibles, \(P(E \cap F) = 0\). Si leurs probabilités sont non nulles, \(P(E) \times P(F) > 0\). Donc \(P(E \cap F) \neq P(E) \times P(F)\) : deux tels événements ne sont jamais indépendants.

Erreur fréquente : confondre « indépendants » et « incompatibles ». Deux événements incompatibles s’excluent : savoir que l’un est réalisé change tout pour l’autre.

Barème : a) 0,5 point pour les probabilités de \(A\) et \(B\), 0,5 point pour \(P(A \cap B)\), 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour les calculs, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point avec la justification.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : indépendance et probabilités totales

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Probabilités » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.

Retrouve tous les contrôles de maths en 1ère classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 1ère sur ce thème

• Contrôle de maths 1ère : probabilités conditionnelles et arbres
• Contrôle de maths 1ère : probabilités et variables aléatoires

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 1rePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 1re à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗