Ce QCM vérifie la maîtrise de l’exponentielle de matrice et des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants en Maths Spé MP : calculs d’exponentielles, résolution de \(X’ = AX\) et comportement asymptotique des solutions. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Exponentielle de matrice et systèmes différentiels du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Systèmes différentiels linéaires - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), que vaut \(\exp(tN)\) ?
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), que vaut \(\det(\exp(A))\) ?
A\(e^{\det A}\)
B\(1\)
C\(e^{\mathrm{tr}\,A}\)
D\(\mathrm{tr}(\exp(A))\)
Question 5
Pour \(J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), que vaut \(\exp(tJ)\) ?
A\(\begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} \operatorname{ch} t & -\operatorname{sh} t \\ \operatorname{sh} t & \operatorname{ch} t \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix}\)
Question 6
Quelle est la solution du problème de Cauchy \(X' = AX\), \(X(t_0) = X_0\), avec \(A\) constante ?
A\(X(t) = \exp((t-t_0)A)\,X_0\)
B\(X(t) = \exp(tA)\,X_0\)
C\(X(t) = \exp(t_0 A)\exp(tA)\,X_0\)
D\(X(t) = e^{t-t_0}A\,X_0\)
Question 7
Pour \(A = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\), que dire des solutions de \(X' = AX\) quand \(t \to +\infty\) ?
AElles sont toutes périodiques
BElles tendent toutes vers \(0\)
CElles restent bornées sans tendre vers \(0\)
DCertaines ne sont pas bornées, à cause du coefficient \(5\)
Question 8
Quelle est la solution de \(x' = x + y\), \(y' = 2y\), avec \(x(0) = 1\), \(y(0) = 1\) ?
A\(x(t) = e^t\), \(y(t) = e^{2t}\)
B\(x(t) = e^{2t}\), \(y(t) = e^{2t}\)
C\(x(t) = e^t + t e^{2t}\), \(y(t) = e^{2t}\)
D\(x(t) = 2e^{2t} - e^t\), \(y(t) = e^{2t}\)
Question 9
Pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), laquelle de ces affirmations est vraie ?
A\(\exp(A) = I_n\) implique \(A = 0\)
B\(\exp(A)\) est toujours diagonalisable
C\(\exp(A)\) est inversible si et seulement si \(A\) l’est
D\(\exp(A)\) est inversible, d’inverse \(\exp(-A)\)
Question 10
Pour \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), que vaut \(\exp(tA)\) ?
A\(\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} \operatorname{ch} t & \operatorname{sh} t \\ -\operatorname{sh} t & \operatorname{ch} t \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 1 & t \\ t & 1 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} \operatorname{ch} t & \operatorname{sh} t \\ \operatorname{sh} t & \operatorname{ch} t \end{pmatrix}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de systèmes différentiels linéaires en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition \(\exp(A) = \sum \frac{A^k}{k!}\) et le calcul pour une matrice diagonalisable ou nilpotente ;
la relation \(\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)\) pour des matrices qui commutent ;
la dérivée \(\frac{d}{dt}\exp(tA) = A\exp(tA)\) et la solution \(X(t) = \exp((t-t_0)A)X_0\) ;
le spectre de \(\exp(A)\) et la formule \(\det \exp(A) = e^{\mathrm{tr}\,A}\) ;
le rôle du signe des parties réelles des valeurs propres.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire \(\exp(A+B) = \exp(A)\exp(B)\) sans vérifier que \(AB = BA\). Pour décomposer \(\lambda I_n + N\) avec \(N\) nilpotente, c’est justement la commutation de \(\lambda I_n\) avec \(N\) qui autorise le calcul.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour calculer \(\exp(tA)\), cherchez d’abord une décomposition \(A = D + N\) avec \(D\) diagonalisable, \(N\) nilpotente et \(DN = ND\) : la série de \(\exp(tN)\) est alors une somme finie. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
L’exponentielle d’une matrice réelle est-elle toujours inversible ?
Oui : \(\exp(A)\exp(-A) = \exp(0) = I_n\) car \(A\) et \(-A\) commutent. Son déterminant vaut \(e^{\mathrm{tr}\,A} > 0\) dans le cas réel.
Quand toutes les solutions de \(X’ = AX\) tendent-elles vers \(0\) ?
Exactement quand toutes les valeurs propres de \(A\) ont une partie réelle strictement négative. Une valeur propre de partie réelle nulle donne des solutions qui ne tendent pas vers \(0\).
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