Ce QCM vérifie la maîtrise de l’adjoint et des isométries vectorielles d’un espace euclidien en Maths Spé MP : matrices orthogonales, rotations et réflexions du plan et de l’espace, et réduction en base orthonormée. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Adjoint et isométries d’un espace euclidien du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Isométries vectorielles - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
\(A\) est la matrice de \(u \in \mathcal{L}(E)\) dans une base orthonormée de l’espace euclidien \(E\). Quelle est la matrice de \(u^*\) dans cette base ?
A\(-A\)
B\(A^T\)
C\(\mathrm{com}(A)\)
D\(A^{-1}\)
Question 2
Un sous-espace \(F\) de l’espace euclidien \(E\) est stable par \(u \in \mathcal{L}(E)\). Que peut-on en déduire ?
A\(F\) est stable par \(u^*\)
B\(F^\perp\) est stable par \(u\)
C\(F^\perp\) est stable par \(u^*\)
D\(F^\perp\) est stable par \(u^{-1}\)
Question 3
Quelle est la nature de \(M = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix}\) ?
A\(M \in O_3(\mathbb{R})\), \(\det M = -1\), et ce n’est pas une réflexion
B\(M\) n’est pas orthogonale, car ses coefficients ne sont pas dans \(\{-1,0,1\}\)
C\(M \in O_3(\mathbb{R})\), \(\det M = -1\) : c’est une réflexion
D\(M \in SO_3(\mathbb{R})\) : c’est une rotation
Question 4
\(M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) est une rotation d’axe dirigé par \((1,1,1)\). Quelle est la mesure \(\theta \in [0,\pi]\) de son angle ?
A\(\pi\)
B\(\frac{\pi}{3}\)
C\(\frac{2\pi}{3}\)
D\(\frac{\pi}{2}\)
Question 5
Quelle isométrie du plan euclidien est représentée en base orthonormée par \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}\) ?
ALa rotation d’angle \(\frac{\pi}{3}\)
BLa réflexion d’axe dirigé par \(\left( \cos\frac{\pi}{6}, \sin\frac{\pi}{6} \right)\)
CLa rotation d’angle \(\frac{\pi}{6}\)
DLa réflexion d’axe dirigé par \(\left( \cos\frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3} \right)\)
Question 6
Soit \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) avec \(\det M = 1\). Que peut-on affirmer ?
A\(M \in SO_n(\mathbb{R})\)
B\(M \in O_n(\mathbb{R})\), mais pas forcément dans \(SO_n(\mathbb{R})\)
C\(M^T M\) est une matrice diagonale
D\(M\) n’est pas nécessairement orthogonale
Question 7
Quelle propriété du groupe \(SO_2(\mathbb{R})\) est exacte ?
AIl est commutatif, isomorphe à \(\mathbb{U}\) par \(e^{i\theta} \mapsto R(\theta)\)
BIl n’est pas commutatif, comme le groupe \(O_2(\mathbb{R})\) qui le contient
CIl est commutatif, isomorphe au groupe additif \((\mathbb{R},+)\) par \(\theta \mapsto R(\theta)\)
DIl est commutatif, tout comme le groupe \(O_2(\mathbb{R})\)
Question 8
À quoi toute matrice \(M \in O_n(\mathbb{R})\) est-elle semblable par une matrice orthogonale ?
AÀ une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux \(\pm 1\)
BÀ une matrice diagonale à coefficients diagonaux \(\pm 1\)
CÀ une matrice diagonale par blocs formée uniquement de blocs de rotation \(R(\theta)\)
DÀ une matrice diagonale par blocs, formée de blocs \((1)\), \((-1)\) et de blocs de rotation \(R(\theta)\)
Question 9
Dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien usuel, quelle est l’image de \((1,0,0)\) par la réflexion par rapport au plan orthogonal à \(a = (1,1,0)\) ?
A\((-1,0,0)\)
B\(\left( \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0 \right)\)
C\((0,1,0)\)
D\((0,-1,0)\)
Question 10
On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) du produit scalaire \(\langle M, N \rangle = \mathrm{tr}(M^T N)\), et l’on fixe \(A\). Quel est l’adjoint de \(u : M \mapsto AM\) ?
A\(M \mapsto MA\)
B\(M \mapsto A^{-1} M\)
C\(M \mapsto A^T M\)
D\(M \mapsto M A^T\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de isométries vectorielles en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
l’adjoint \(u^*\) et sa matrice en base orthonormée ;
la stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable ;
le groupe orthogonal \(O_n(\mathbb{R})\) et le groupe spécial \(SO_n(\mathbb{R})\) ;
les isométries du plan : rotations et réflexions ;
les rotations de l’espace de dimension \(3\) : axe et angle.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’une matrice de déterminant \(\pm 1\) est orthogonale. Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut \(\pm 1\), mais la réciproque est fausse : il faut vérifier \(M^T M = I_n\), c’est-à-dire des colonnes orthonormées.
Comment réviser avant de refaire le test
Face à \(M \in O_3(\mathbb{R})\), calculez d’abord \(\det M\), puis testez la symétrie (une isométrie symétrique est une symétrie orthogonale), enfin utilisez \(\mathrm{tr}\,M = 1 + 2\cos\theta\) pour l’angle d’une rotation. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Non, \(u^*\) est défini intrinsèquement par \(\langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle\). Seule sa matrice en dépend : c’est la transposée de celle de \(u\) quand la base est orthonormée.
Comment trouver l’axe d’une rotation de \(\mathbb{R}^3\) ?
On résout \(M X = X\) : l’axe est l’espace propre associé à la valeur propre \(1\). L’angle vient de la trace, son signe de l’orientation choisie sur l’axe.
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