L’essentiel : Corrigé du bac de maths 2026 en France (septembre, jour 2) : chaque question est résolue avec les calculs et la méthode attendue. Idéal pour réviser l’examen en se corrigeant ; corrigé gratuit en PDF.
Corrigé septembre 2026 : organisation du corrigé
Avant tout, ce corrigé septembre 2026 reprend l’épreuve de spécialité mathématiques 2026 en France (septembre, jour 2) et détaille la démarche attendue à chaque question. Concrètement, le sujet compte 4 exercices indépendants. Côté programme, il faut notamment maîtriser la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, le calcul intégral et la géométrie dans l’espace. Côté timing, l’épreuve dure 4 heures ; par conséquent, prévoyez à peu près 60 minutes pour chaque exercice. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 : correction du corrigé septembre 2026
Partie A
1. a. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : le succès « le lancer est réussi » a pour probabilité 0,6. On répète cette épreuve 5 fois de façon identique et indépendante (c’est le modèle choisi), et \(X\) compte le nombre de succès. Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}6\).
b. \(P(X \geq\, 4)=P(X=4)+P(X=5)=\dbinom{5}{4}\times 0{,}6^4\times 0{,}4+0{,}6^5=5\times 0{,}1296\times 0{,}4+0{,}07776=0{,}2592+0{,}07776=0{,}33696\).
Donc \(P(X \geq\, 4) \approx 0{,}34\) : sur une série de cinq lancers francs, la joueuse en réussit au moins quatre dans environ 34 % des cas.
2. a. L’évènement « \(Y \geq\, 1\) » est le contraire de « \(Y=0\) » (aucun lancer réussi). Or \(P(Y=0)=\dbinom{n}{0}\times 0{,}6^0\times 0{,}4^n=0{,}4^n\). Donc \(P(Y \geq\, 1)=1-0{,}4^n\).
b. On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1-0{,}4^n \gt 0{,}9999\) :
\[1-0{,}4^n \gt 0{,}9999 \iff 0{,}4^n \lt 0{,}0001 \iff n\ln(0{,}4) \lt \ln(0{,}0001) \iff n \gt \dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)}.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante, d’où la deuxième équivalence ; pour la troisième, on divise par \(\ln(0{,}4) \lt 0\), ce qui change le sens de l’inégalité. Comme \(\dfrac{\ln(0{,}0001)}{\ln(0{,}4)} \approx 10{,}05\), la probabilité de réussir au moins un lancer dépasse 0,999 9 à partir de \(n=11\) lancers.
c. La variable p contient \(P(Y \geq\, 1)\) pour la valeur courante de n (au départ \(n=1\) et \(1-0{,}4=0{,}6\)). Tant que cette probabilité ne dépasse pas 0,999 9, on ajoute un lancer et on recalcule la probabilité ; on renvoie ensuite le nombre de lancers.
def basket ():
p = 0.6
n = 1
while p <= 0.9999 :
n = n + 1
p = 1 - 0.4**n
return n
L’appel basket() renvoie 11, ce qui confirme le résultat de la question précédente.
Partie B
1. On construit l’arbre : \(G_1\) (probabilité 0,5) puis \(G_2\) avec probabilité 0,7 ; \(\overline{G_1}\) (probabilité 0,5) puis \(G_2\) avec probabilité 0,4. Les évènements \(G_1\) et \(\overline{G_1}\) forment une partition de l’univers, donc d’après la formule des probabilités totales :
\[P(G_2)=P(G_1)\times P_{G_1}(G_2)+P(\overline{G_1})\times P_{\overline{G_1}}(G_2)=0{,}5\times 0{,}7+0{,}5\times 0{,}4=0{,}35+0{,}2=0{,}55.\]
Donc \(P(G_2)=0{,}55\).
2. a. Pour \(n \geq\, 1\), notons \(\mathcal{P}(n)\) la propriété « \(p_n \leq\, p_{n+1}\) ».
Initialisation. \(p_1=0{,}5\) et \(p_2=0{,}55\), donc \(p_1 \leq\, p_2\) : \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \geq\, 1\) tel que \(p_n \leq\, p_{n+1}\). En multipliant par \(0{,}3 \gt 0\), l’ordre est conservé : \(0{,}3p_n \leq\, 0{,}3p_{n+1}\). En ajoutant 0,4 : \(0{,}3p_n+0{,}4 \leq\, 0{,}3p_{n+1}+0{,}4\), c’est-à-dire \(p_{n+1} \leq\, p_{n+2}\). Donc \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, donc pour tout \(n \geq\, 1\), \(p_n \leq\, p_{n+1}\) : la suite \((p_n)\) est croissante.
b. Chaque \(p_n\) est une probabilité, donc \(0 \leq\, p_n \leq\, 1\) : la suite \((p_n)\) est majorée par 1.
c. La suite \((p_n)\) est croissante (question a) et majorée par 1 (question b). D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((p_n)\) est convergente.
3. \(\dfrac{4}{7} \approx 0{,}571\). Cela signifie qu’après un grand nombre de lancers, la probabilité que ce joueur réussisse un lancer franc se stabilise autour de \(\dfrac{4}{7}\) : à long terme, il réussit environ 57 % de ses lancers francs.
Exercice 2 :
1. En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x \to -\infty}(3x-1)=-\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\) (car \(-x\) tend vers \(+\infty\)). Par produit, \(\lim\limits_{x \to -\infty}(3x-1)\text{e}^{-x}=-\infty\), puis en ajoutant 2 : \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\).
2. En \(+\infty\), le produit \((3x-1)\text{e}^{-x}\) est une forme indéterminée ; on développe : \(f(x)=3\,\dfrac{x}{\text{e}^x}-\text{e}^{-x}+2\).
Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\), et \(\lim\limits_{x \to +\infty}\text{e}^{-x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=2\).
Graphiquement, la droite d’équation \(y=2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal{C}_f\) en \(+\infty\).
3. a. On dérive le produit \(u(x)=3x-1\), \(u^{\prime}(x)=3\), \(v(x)=\text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\) ; la constante 2 a une dérivée nulle :
\[f^{\prime}(x)=3\text{e}^{-x}+(3x-1)\times (-\text{e}^{-x})=(3-3x+1)\,\text{e}^{-x}=(4-3x)\,\text{e}^{-x}.\]
On a bien \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\).
b. Pour tout réel \(x\), \(\text{e}^{-x} \gt 0\), donc \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(4-3x\) : positif pour \(x \lt \dfrac{4}{3}\), nul en \(\dfrac{4}{3}\), négatif pour \(x \gt \dfrac{4}{3}\). On calcule \(f(\dfrac{4}{3})=(4-1)\text{e}^{-\frac{4}{3}}+2=2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \approx 2{,}79\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac{4}{3}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}}\) | \(\searrow\) | 2 |
\(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty ; \dfrac{4}{3}]\) et strictement décroissante sur \([\dfrac{4}{3} ; +\infty[\).
4. a. On sépare \(\mathbb{R}\) en deux intervalles.
- Sur \([\dfrac{4}{3} ; +\infty[\), \(f\) décroît vers 2 sans l’atteindre, donc \(f(x) \gt 2 \gt 0\) : l’équation \(f(x)=0\) n’y a aucune solution.
- Sur \(]-\infty ; \dfrac{4}{3}]\), \(f\) est continue (car dérivable) et strictement croissante, de \(-\infty\) à \(2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \gt 0\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) assure que l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution sur cet intervalle.
Exercice 2 du corrigé septembre 2026 : question 5
En conclusion, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
b. À la calculatrice : \(f(0)=-1+2=1 \gt 0\) ; \(f(-0{,}21) \approx -0{,}011 \lt 0\) et \(f(-0{,}20) \approx 0{,}046 \gt 0\). Donc \(-0{,}21 \lt \alpha \lt -0{,}20\) et un affinement donne \(\alpha \approx -0{,}208\), d’où \(\alpha \approx -0{,}21\) à \(10^{-2}\) près.
c. D’après ce qui précède, \(f\) est strictement négative avant \(\alpha\), nulle en \(\alpha\) et strictement positive après (sur \([\alpha ; \dfrac{4}{3}]\) par croissance, puis car \(f \gt 2\) au-delà de \(\dfrac{4}{3}\)).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f(x)\) | \(-\) | 0 | \(+\) |
d. Comme \(\alpha \lt 0\), la fonction \(f\) est positive sur \([0 ; 2]\) ; l’aire cherchée, en unités d’aire, est donc \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x=F(2)-F(0)\).
\[F(2)=(-6-2)\text{e}^{-2}+4=4-8\text{e}^{-2} \quad \text{et} \quad F(0)=(0-2)\times 1+0=-2.\]
\[\mathcal{A}=4-8\text{e}^{-2}-(-2)=6-8\text{e}^{-2} \approx 4{,}92.\]
L’aire du domaine vaut \(6-8\text{e}^{-2}\) unités d’aire, soit environ 4,92 u.a.
5. Étudions la convexité de \(f\). En dérivant \(f^{\prime}(x)=(4-3x)\text{e}^{-x}\) comme un produit :
\[f^{\prime\prime}(x)=-3\text{e}^{-x}+(4-3x)\times (-\text{e}^{-x})=(3x-7)\,\text{e}^{-x}.\]
Comme \(\text{e}^{-x} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) pour \(x \leq\, \dfrac{7}{3}\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty ; \dfrac{7}{3}]\). Sur cet intervalle, la courbe est au-dessous de ses tangentes, en particulier de sa tangente au point d’abscisse 0 (qui appartient à l’intervalle), d’équation \(y=4x+1\). Donc pour tout \(x \leq\, \dfrac{7}{3}\), \(f(x) \leq\, 4x+1\).
Pour \(x \geq\, \dfrac{7}{3}\) : d’après le tableau de variations, \(f(x) \leq\, 2+3\text{e}^{-\frac{4}{3}} \lt 3\) pour tout réel \(x\), alors que \(4x+1 \geq\, 4\times \dfrac{7}{3}+1=\dfrac{31}{3} \gt 3\). Donc là aussi \(f(x) \lt 4x+1\).
Conclusion : pour tout réel \(x\), \((3x-1)\text{e}^{-x}+2 \leq\, 4x+1\) ; la courbe \(\mathcal{C}_f\) est entièrement située sous sa tangente au point d’abscisse 0.
Exercice 3 :
Affirmation 1 : fausse.
La fonction \(f(x)=(x-2)\text{e}^x\) est dérivable et \(f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^x+(x-2)\text{e}^x=(x-1)\text{e}^x\). Alors :
\[f^{\prime}(x)-2f(x)=(x-1)\text{e}^x-2(x-2)\text{e}^x=(x-1-2x+4)\,\text{e}^x=(3-x)\,\text{e}^x.\]
Pour \(x=0\), on obtient 3 alors que le second membre \((x-3)\text{e}^x\) vaut \(-3\). Les deux expressions ne sont pas égales pour tout \(x\), donc \(f\) n’est pas solution de (E).
Affirmation 2 : fausse.
On pose \(u(x)=2x+1\), \(u^{\prime}(x)=2\), \(v^{\prime}(x)=\cos(x)\), \(v(x)=\sin(x)\), fonctions dérivables à dérivées continues sur \([0 ; \pi]\) :
\[\int_0^{\pi}(2x+1)\cos(x)\,\mathrm{d}x=\Big[(2x+1)\sin(x)\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x.\]
Le crochet vaut \((2\pi+1)\sin(\pi)-1\times \sin(0)=0\). Et \(\displaystyle\int_0^{\pi}2\sin(x)\,\mathrm{d}x=\Big[-2\cos(x)\Big]_0^{\pi}=2-(-2)=4\).
Donc l’intégrale vaut \(0-4=-4\), et non \(-4\pi\).
Affirmation 3 : vraie.
Sur \(]7 ; +\infty[\), les deux logarithmes sont bien définis : \(4x-8 \gt 20 \gt 0\), et \(2x^2-6x-56=2(x-7)(x+4) \gt 0\) (les deux facteurs sont positifs). La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), l’inéquation équivaut à :
\[2x^2-6x-56 \geq\, 4x-8 \iff 2x^2-10x-48 \geq\, 0 \iff x^2-5x-24 \geq\, 0.\]
Le discriminant vaut \(25+96=121=11^2\), d’où les racines \(\dfrac{5-11}{2}=-3\) et \(\dfrac{5+11}{2}=8\) : \(x^2-5x-24=(x+3)(x-8)\). Ce trinôme (coefficient dominant positif) est positif à l’extérieur des racines, c’est-à-dire pour \(x \leq\, -3\) ou \(x \geq\, 8\). Sur \(]7 ; +\infty[\), l’ensemble des solutions est donc bien \([8 ; +\infty[\).
Affirmation 4 : vraie.
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=\dfrac{2}{u_{n+1}}=2\times \dfrac{5u_n+3}{3u_n}=\dfrac{10u_n}{3u_n}+\dfrac{6}{3u_n}=\dfrac{10}{3}+\dfrac{2}{u_n}=v_n+\dfrac{10}{3}.\]
La suite \((v_n)\) est donc arithmétique, de raison \(\dfrac{10}{3}\) et de premier terme \(v_0=\dfrac{2}{1}=2\).
Affirmation 5 : vraie.
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « obtenir 6 », de probabilité \(\dfrac{1}{6}\) ; les 3 600 lancers sont indépendants. Le nombre \(X\) d’apparitions du 6 suit donc la loi binomiale \(\mathcal{B}(3600 ; \dfrac{1}{6})\), avec :
\[\text{E}(X)=3600\times \dfrac{1}{6}=600 \quad \text{et} \quad V(X)=3600\times \dfrac{1}{6}\times \dfrac{5}{6}=500.\]
« \(450 \lt X \lt 750\) » équivaut à \(|X-600| \lt 150\), évènement contraire de \(|X-600| \geq\, 150\). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne :
\[P(|X-600| \geq\, 150) \leq\, \dfrac{500}{150^2}=\dfrac{500}{22500}=\dfrac{1}{45}.\]
Donc \(P(450 \lt X \lt 750) \geq\, 1-\dfrac{1}{45}=\dfrac{44}{45} \approx 0{,}978\), qui est supérieur à 0,97. La probabilité est bien minorée par 0,97.
Exercice 4 :
Partie A
1. On calcule \(\vec{RS}\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{RT}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}\).
Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \(\vec{RT}=\lambda\vec{RS}\) ; la première coordonnée imposerait \(2{,}5=0\times \lambda=0\), ce qui est impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc R, S et T ne sont pas alignés.
2. a. Dans le repère orthonormé :
\[\vec{n}\cdot\vec{RS}=-10\times 0+4\times 3+3\times (-4)=0+12-12=0\]
\[\vec{n}\cdot\vec{RT}=-10\times 2{,}5+4\times 7+3\times (-1)=-25+28-3=0\]
\(\vec{n}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (RST) : c’est un vecteur normal au plan (RST).
b. Une équation de (RST) est de la forme \(-10x+4y+3z+d=0\). Comme R\((1 ; 0 ; 6)\) appartient au plan : \(-10+0+18+d=0\), donc \(d=-8\).
Une équation cartésienne de (RST) est \(-10x+4y+3z-8=0\).
3. a. Avec les coordonnées de A : \(-10\times (-2{,}5)+4\times 8+3\times 4{,}5-8=25+32+13{,}5-8=62{,}5 \neq 0\). Le point A n’appartient pas au plan (RST).
b. La droite \(d_1\) est orthogonale à (RST), elle est donc dirigée par \(\vec{n}\) ; elle passe par A. Une représentation paramétrique de \(d_1\) est :
\[\begin{cases} x=-2{,}5-10t \\ y=8+4t \\ z=4{,}5+3t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}.\]
c. H est l’intersection de \(d_1\) et du plan (RST). On injecte la représentation paramétrique dans l’équation du plan :
\[-10(-2{,}5-10t)+4(8+4t)+3(4{,}5+3t)-8=0 \iff 62{,}5+125t=0 \iff t=-0{,}5.\]
Pour \(t=-0{,}5\) : \(x=-2{,}5+5=2{,}5\), \(y=8-2=6\), \(z=4{,}5-1{,}5=3\). On retrouve bien H\((2{,}5 ; 6 ; 3)\).
Exercice 4 du corrigé septembre 2026, partie A : question 4
4. a. \(\vec{SR}\begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{ST}\begin{pmatrix} 2{,}5 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}\), donc \(\vec{SR}\cdot\vec{ST}=0\times 2{,}5+(-3)\times 4+4\times 3=0\).
Les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites (SR) et (ST) sont perpendiculaires en S : le triangle RST est rectangle en S.
b. On calcule les longueurs utiles (en cm) :
\[\text{SR}=\sqrt{0+9+16}=5, \quad \text{ST}=\sqrt{6{,}25+16+9}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}.\]
L’aire de la base RST (triangle rectangle en S) est \(\dfrac{\text{SR}\times \text{ST}}{2}=\dfrac{1}{2}\times 5\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{25\sqrt{5}}{4}\) cm².
La hauteur associée est la distance de A au plan (RST), c’est-à-dire AH, avec \(\vec{HA}\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 1{,}5 \end{pmatrix}\) : \(\text{AH}=\sqrt{25+4+2{,}25}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}\) cm.
\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25\sqrt{5}}{4}\times \dfrac{5\sqrt{5}}{2}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{125\times 5}{8}=\dfrac{625}{24}.\]
Le volume du tétraèdre ARST vaut bien \(\dfrac{625}{24}\) cm³ (environ 26 cm³).
Partie B
1. Pour un point M de \(d_2\) de paramètre \(s\) : \(\vec{AM}\begin{pmatrix} -4{,}5+s+2{,}5 \\ 4-4s-8 \\ 5{,}5-2s-4{,}5 \end{pmatrix}\), soit \(\vec{AM}\begin{pmatrix} s-2 \\ -4-4s \\ 1-2s \end{pmatrix}\).
\[\text{AM}^2=(s-2)^2+(-4-4s)^2+(1-2s)^2=(s^2-4s+4)+(16s^2+32s+16)+(4s^2-4s+1).\]
En regroupant : \(\text{AM}^2=21s^2+24s+21\).
2. Une distance étant positive, AM est minimale lorsque \(\text{AM}^2\) l’est. Le trinôme \(21s^2+24s+21\) a un coefficient dominant positif : il atteint son minimum en \(s=-\dfrac{24}{2\times 21}=-\dfrac{4}{7}\).
Pour \(s=-\dfrac{4}{7}\) :
\[x=-4{,}5-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{71}{14}, \quad y=4+\dfrac{16}{7}=\dfrac{44}{7}, \quad z=5{,}5+\dfrac{8}{7}=\dfrac{93}{14}.\]
La distance AM est minimale pour M\((-\dfrac{71}{14} ; \dfrac{44}{7} ; \dfrac{93}{14})\). On peut contrôler : \(\text{AM}^2=21\times \dfrac{16}{49}-\dfrac{96}{7}+21=\dfrac{99}{7}\), donc la distance minimale vaut \(\sqrt{\dfrac{99}{7}} \approx 3{,}76\) cm.
Comment réviser avec ce corrigé septembre 2026
Pour commencer, reprenez l’énoncé du sujet et cherchez chaque exercice seul, au brouillon puis au propre. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou la fonction logarithme népérien. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction exponentielle de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les pièges classiques
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Une intégrale ne mesure une aire que si la fonction est positive sur l’intervalle : vérifiez le signe avant de conclure en unités d’aire.
Questions fréquentes sur ce corrigé septembre 2026
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? En priorité, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien et le calcul intégral, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
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