Voici le corrigé complet du bac de maths 2024 en Asie-Pacifique, sujet n° 2 (épreuve de spécialité du 11 juin 2024). Le premier exercice étudie la fonction \(f(x)=x^2-x\ln(x)\) : limites par croissances comparées, dérivée seconde, variations, résolution de \(f(x)=x\) grâce à une fonction auxiliaire, puis une suite récurrente traitée par récurrence et par le théorème de la limite monotone. Le deuxième exercice modélise les parties de jeu vidéo de Léa avec des arbres pondérés, une suite arithmético-géométrique, un calcul de seuil au logarithme et un script Python. Le troisième est un vrai/faux : théorème des gendarmes, convexité lue sur la courbe de \(h^{\prime}\), dénombrement de codes et équation différentielle. Le dernier exercice, de géométrie dans l’espace, relie l’aire d’un triangle à celle de son projeté orthogonal sur un plan par le cosinus d’un angle. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Asie Pacifique bac de maths 2024 : sujet n° 2 corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Fonction logarithme, suite récurrente – 5,5 points
On étudie la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=x^2-x\ln(x)\).
Partie A : étude de la fonction \(f\)
1. Limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
En 0. Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln(x)=0\). Comme \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x^2=0\), on obtient par différence :
\[\lim_{x\to 0^+} f(x)=0.\]
En \(+\infty\). On a une forme indéterminée « \(\infty-\infty\) ». Pour \(x\gt 0\), on factorise par \(x^2\) :
\[f(x)=x^2(1-\frac{\ln(x)}{x}).\]
Par croissances comparées, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0\), donc la parenthèse tend vers 1, et comme \(x^2\) tend vers \(+\infty\) :
\[\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.\]
2. Calcul de \(f^{\prime}(x)\).
Pour \(x\gt 0\), la dérivée de \(x\ln(x)\) est (produit) \(1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1\). Donc :
\[f^{\prime}(x)=2x-\ln(x)-1.\]
3. Montrer que \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{2x-1}{x}\).
Pour \(x\gt 0\) :
\[f^{\prime\prime}(x)=2-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x}.\]
4. Variations de \(f^{\prime}\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), le dénominateur \(x\) est strictement positif, donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(2x-1\), qui s’annule en \(\dfrac12\), est négatif avant et positif après. Ainsi \(f^{\prime}\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\dfrac12]\) et strictement croissante sur \([\dfrac12\,;+\infty[\). Elle admet donc un minimum en \(\dfrac12\) :
\[f^{\prime}(\frac12)=2\times \frac12-\ln(\frac12)-1=1+\ln(2)-1=\ln(2).\]
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| variations de \(f^{\prime}\) | || | décroissante ↘ | \(\ln(2)\) | croissante ↗ |
5. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
D’après le tableau, le minimum de \(f^{\prime}\) sur \(]0\,;+\infty[\) vaut \(\ln(2)\gt 0\). Donc pour tout \(x\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\geq\,\ln(2)\gt 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Partie B : fonction auxiliaire et équation \(f(x)=x\)
On pose \(g(x)=x-\ln(x)\) sur \(]0\,;+\infty[\).
1. Dérivée et variations de \(g\).
Pour \(x\gt 0\) :
\[g^{\prime}(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}.\]
Comme \(x\gt 0\), \(g^{\prime}(x)\) a le signe de \(x-1\) : négatif sur \(]0\,;1[\), nul en 1, positif sur \(]1\,;+\infty[\). De plus \(g(1)=1-\ln(1)=1\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(g^{\prime}(x)\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| variations de \(g\) | || | décroissante ↘ | \(1\) | croissante ↗ |
2. Résoudre \(f(x)=x\) sur \(]0\,;+\infty[\) (on admet que 1 est l’unique solution de \(g(x)=1\)).
Pour \(x\gt 0\) :
\[f(x)=x \iff x^2-x\ln(x)-x=0 \iff x(x-\ln(x)-1)=0 \iff x(g(x)-1)=0.\]
Comme \(x\neq 0\), cela équivaut à \(g(x)=1\), c’est-à-dire \(x=1\). L’équation \(f(x)=x\) a pour unique solution \(x=1\).
Partie C : étude d’une suite récurrente
On pose \(u_0=\dfrac12\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=f(u_n)=u_n^2-u_n\ln(u_n)\).
1. Montrer par récurrence que \(\dfrac12\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 1\) pour tout \(n\).
Notons \(P(n)\) cette propriété.
Initialisation. \(u_1=f(\dfrac12)=\dfrac14-\dfrac12\ln(\dfrac12)=\dfrac14+\dfrac{\ln(2)}{2}\approx 0{,}597\). On a bien \(\dfrac12\leq\, u_0\leq\, u_1\leq\, 1\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(\dfrac12\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 1\). La fonction \(f\) étant strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) (partie A), elle conserve l’ordre :
\[f(\frac12)\leq\, f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(1),\ \text{soit}\ u_1\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 1\]
car \(f(1)=1-0=1\). Comme \(u_1\geq\,\dfrac12\), on obtient \(\dfrac12\leq\, u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\, 1\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac12\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\, 1\).
2. Justifier que \((u_n)\) converge.
D’après la question 1, la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 1. Par le théorème de la limite monotone, \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\), avec \(\dfrac12\leq\,\ell\leq\, 1\).
3. Valeur de \(\ell\) (on admet que \(f(\ell)=\ell\)).
\(\ell\) est un réel strictement positif solution de \(f(x)=x\). D’après la partie B, la seule solution est 1, donc \(\ell=1\).
Exercice 2 :
Probabilités conditionnelles et suites – 5,5 points
Léa gagne une partie dans 70 % des cas si elle a gagné la précédente, avec une probabilité 0,2 si elle a perdu la précédente, et \(g_1=0{,}5\). On note \(G_n\) (resp. \(D_n\)) l’événement « Léa gagne (resp. perd) la \(n\)-ième partie » et \(g_n=P(G_n)\).
1. Probabilité \(P_{G_1}(D_2)\).
\(D_2\) est l’événement contraire de \(G_2\), donc :
\[P_{G_1}(D_2)=1-P_{G_1}(G_2)=1-0{,}7=0{,}3.\]
2. Arbre des deux premières parties.
3. Calcul de \(g_2\).
Les événements \(G_1\) et \(D_1\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[g_2=P(G_1\cap G_2)+P(D_1\cap G_2)=0{,}5\times 0{,}7+0{,}5\times 0{,}2=0{,}35+0{,}1=0{,}45.\]
\(g_2=0{,}45\).
4. a. Arbre des parties \(n\) et \(n+1\).
b. Montrer que \(g_{n+1}=0{,}5g_n+0{,}2\).
Pour \(n\geq\, 1\), \(G_n\) et \(D_n\) forment une partition de l’univers. Par la formule des probabilités totales :
\[g_{n+1}=P(G_n)\times P_{G_n}(G_{n+1})+P(D_n)\times P_{D_n}(G_{n+1})=0{,}7g_n+0{,}2(1-g_n)=0{,}5g_n+0{,}2.\]
5. a. La suite \((v_n)\) définie par \(v_n=g_n-0{,}4\) est géométrique.
Pour tout \(n\geq\, 1\) :
\[v_{n+1}=g_{n+1}-0{,}4=0{,}5g_n+0{,}2-0{,}4=0{,}5g_n-0{,}2=0{,}5(g_n-0{,}4)=0{,}5\,v_n.\]
\((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\) et de premier terme \(v_1=g_1-0{,}4=0{,}1\).
b. Expression de \(g_n\).
Pour tout \(n\geq\, 1\), \(v_n=v_1\times 0{,}5^{n-1}=0{,}1\times 0{,}5^{n-1}\), et comme \(g_n=v_n+0{,}4\) :
\[g_n=0{,}1\times 0{,}5^{n-1}+0{,}4.\]
6. Variations de \((g_n)\).
Pour tout \(n\geq\, 1\) :
\[g_{n+1}-g_n=0{,}1\times 0{,}5^{n}-0{,}1\times 0{,}5^{n-1}=0{,}1\times 0{,}5^{n-1}\times (0{,}5-1)=-0{,}05\times 0{,}5^{n-1}.\]
Ce nombre est strictement négatif, donc la suite \((g_n)\) est strictement décroissante.
7. Limite de \((g_n)\) et interprétation.
Comme \(-1\lt 0{,}5\lt 1\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}0{,}5^{n-1}=0\), donc \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}g_n=0{,}4\).
Interprétation : après un grand nombre de parties dans la journée, la probabilité que Léa gagne une partie se stabilise autour de 0,4, soit 40 %.
8. Plus petit entier \(n\) tel que \(g_n-0{,}4\leq\, 0{,}001\).
\[g_n-0{,}4\leq\, 0{,}001 \iff 0{,}1\times 0{,}5^{n-1}\leq\, 0{,}001 \iff 0{,}5^{n-1}\leq\, 0{,}01.\]
La fonction \(\ln\) étant strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[\iff (n-1)\ln(0{,}5)\leq\, \ln(0{,}01) \iff n-1\geq\,\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)} \iff n\geq\, 1+\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)},\]
le sens de l’inégalité changeant car \(\ln(0{,}5)\lt 0\). Or \(1+\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)}\approx 7{,}64\). Le plus petit entier cherché est \(n=8\).
Vérification : \(g_7-0{,}4=0{,}1\times 0{,}5^{6}\approx 0{,}0016\) et \(g_8-0{,}4=0{,}1\times 0{,}5^{7}\approx 0{,}00078\).
9. Compléter la fonction Python qui renvoie le premier rang à partir duquel \(g_n\leq\, 0{,}4+e\).
Tant que \(g\) est strictement supérieur à \(0{,}4+e\), on calcule le terme suivant et on augmente le rang de 1 (la suite étant décroissante, tous les termes suivants restent ensuite sous le seuil) :
def seuil(e) :
g = 0.5
n = 1
while g > 0.4 + e :
g = 0.5 * g + 0.2
n = n + 1
return (n)
Par exemple, seuil(0.001) renvoie 8, conformément à la question 8.
Exercice 3 :
Vrai ou faux – 4 points
Affirmation 1 : si \(\dfrac12\lt u_n\leq\,\dfrac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}\) pour tout \(n\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac12\).
Pour \(n\geq\, 1\), en factorisant par \(n^2\) :
\[\frac{3n^2+4n+7}{6n^2+1}=\frac{3+\dfrac4n+\dfrac{7}{n^2}}{6+\dfrac{1}{n^2}}.\]
Comme \(\dfrac1n\) et \(\dfrac1{n^2}\) tendent vers 0, ce quotient tend vers \(\dfrac36=\dfrac12\). La suite \((u_n)\) est encadrée par la suite constante \(\dfrac12\) et une suite qui tend vers \(\dfrac12\) : d’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac12\). L’affirmation 1 est vraie.
Affirmation 2 : la fonction \(h\) (dont on donne la courbe de la dérivée \(h^{\prime}\) sur \([-4\,;4]\)) est convexe sur \([-1\,;3]\).
\(h\) est convexe sur un intervalle si et seulement si \(h^{\prime}\) y est croissante. Or, sur le graphique, \(h^{\prime}\) croît de \(-1\) jusqu’à un maximum (environ 5,5) atteint vers \(x\approx 0{,}6\), puis décroît jusqu’à 0 en \(x=3\) : par exemple \(h^{\prime}(1)\approx 5\gt h^{\prime}(3)=0\). La dérivée n’est donc pas croissante sur \([-1\,;3]\) ; \(h\) est même concave sur \([1\,;3]\). L’affirmation 2 est fausse.
Affirmation 3 : un code est formé de 4 chiffres (répétitions permises) suivis de deux lettres distinctes parmi A, B, C ; il existe 20 634 codes contenant au moins un 0.
Pour les lettres, il y a 3 choix pour la première puis 2 pour la seconde, soit 6 possibilités. Nombre total de codes : \(10^4\times 6=60\,000\). Codes sans aucun 0 (9 choix par chiffre) : \(9^4\times 6=6\,561\times 6=39\,366\). Par passage au complémentaire, le nombre de codes contenant au moins un 0 est :
\[60\,000-39\,366=20\,634.\]
L’affirmation 3 est vraie.
Affirmation 4 : \(f(x)=x\ln(x)\) est solution sur \(]0\,;+\infty[\) de \(xy^{\prime}-y=x\).
\(f\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) comme produit de fonctions dérivables et \(f^{\prime}(x)=\ln(x)+x\times \dfrac1x=\ln(x)+1\). Alors, pour tout \(x\gt 0\) :
\[xf^{\prime}(x)-f(x)=x\ln(x)+x-x\ln(x)=x.\]
L’affirmation 4 est vraie.
Exercice 4 :
Géométrie dans l’espace – 5 points
Dans un repère orthonormé, le plan \((P)\) a pour équation \(2x+2y-3z+1=0\) ; on donne \(A(1\,;0\,;1)\), \(B(2\,;-1\,;1)\) et \(C(-4\,;-6\,;5)\).
Partie A
1. Les points \(A\), \(B\), \(C\) appartiennent-ils à \((P)\) ?
- \(A\) : \(2\times 1+2\times 0-3\times 1+1=0\), donc \(A\in(P)\).
- \(B\) : \(2\times 2+2\times (-1)-3\times 1+1=4-2-3+1=0\), donc \(B\in(P)\).
- \(C\) : \(2\times (-4)+2\times (-6)-3\times 5+1=-8-12-15+1=-34\neq 0\), donc \(C\notin(P)\).
2. Montrer que \(C^{\prime}(0\,;-2\,;-1)\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((P)\).
Un vecteur normal à \((P)\) est \(\vec n\begin{pmatrix}2\\2\\-3\end{pmatrix}\). On a \(\vec{CC^{\prime}}\begin{pmatrix}0-(-4)\\-2-(-6)\\-1-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}=2\vec n\) : la droite \((CC^{\prime})\) est orthogonale à \((P)\). De plus \(2\times 0+2\times (-2)-3\times (-1)+1=-4+3+1=0\), donc \(C^{\prime}\in(P)\). \(C^{\prime}\) est bien le projeté orthogonal de \(C\) sur \((P)\).
3. Représentation paramétrique de \((AB)\).
\(\vec{AB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) dirige \((AB)\) qui passe par \(A\), d’où :
\[(AB) :\ \begin{cases}x=1+t\\ y=-t\\ z=1\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.\]
4. Coordonnées du point \(H\) de \((AB)\) tel que \((HC)\perp(AB)\).
\(H\in(AB)\), donc \(H(1+t\,;-t\,;1)\) pour un réel \(t\), et \(\vec{HC}\begin{pmatrix}-5-t\\-6+t\\4\end{pmatrix}\). La condition d’orthogonalité s’écrit :
\[\vec{HC}\cdot\vec{AB}=0 \iff (-5-t)\times 1+(-6+t)\times (-1)+4\times 0=0 \iff 1-2t=0 \iff t=\frac12.\]
Donc \(H(\dfrac32\,;-\dfrac12\,;1)\). On retrouve \(\vec{HC}\begin{pmatrix}-\frac{11}{2}\\-\frac{11}{2}\\4\end{pmatrix}\), et on vérifie : \(-\dfrac{11}{2}+\dfrac{11}{2}+0=0\).
Partie B
1. Norme de \(\vec{HC}\).
\[\|\vec{HC}\|=\sqrt{(-\frac{11}{2})^2+(-\frac{11}{2})^2+4^2}=\sqrt{\frac{121}{4}+\frac{121}{4}+16}=\sqrt{\frac{153}{2}}.\]
\(HC=\sqrt{\dfrac{153}{2}}\approx 8{,}75\).
2. Aire \(S\) du triangle \(ABC\).
\(H\) est le pied de la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\). Avec \(AB=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt2\) :
\[S=\frac{AB\times HC}{2}=\frac{\sqrt2\times \sqrt{\frac{153}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{153}}{2}=\frac{3\sqrt{17}}{2}.\]
Partie C (on admet que \(HC^{\prime}=\sqrt{\dfrac{17}{2}}\))
1. Valeur de \(\cos(\alpha)\) où \(\alpha=\widehat{CHC^{\prime}}\).
La droite \((CC^{\prime})\) est orthogonale au plan \((P)\), qui contient \(C^{\prime}\) et \(H\) (car \(H\in(AB)\subset(P)\)). Donc \((CC^{\prime})\perp(C^{\prime}H)\) et le triangle \(CHC^{\prime}\) est rectangle en \(C^{\prime}\). Ainsi :
\[\cos(\alpha)=\frac{HC^{\prime}}{HC}=\frac{\sqrt{\frac{17}{2}}}{\sqrt{\frac{153}{2}}}=\sqrt{\frac{17}{153}}=\sqrt{\frac19}=\frac13.\]
\(\cos(\alpha)=\dfrac13\).
2. a. Montrer que \((C^{\prime}H)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires.
\(\vec{C^{\prime}H}\begin{pmatrix}\frac32\\\frac32\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{C^{\prime}H}\cdot\vec{AB}=\dfrac32-\dfrac32+0=0\) : les droites sont orthogonales. Comme elles sont toutes deux contenues dans le plan \((P)\) et se coupent en \(H\), elles sont perpendiculaires.
b. Aire \(S^{\prime}\) du triangle \(ABC^{\prime}\).
\([C^{\prime}H]\) est la hauteur issue de \(C^{\prime}\) dans le triangle \(ABC^{\prime}\), donc :
\[S^{\prime}=\frac{AB\times C^{\prime}H}{2}=\frac{\sqrt2\times \sqrt{\frac{17}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2}.\]
c. Relation entre \(S\), \(S^{\prime}\) et \(\cos(\alpha)\).
\[S\times \cos(\alpha)=\frac{3\sqrt{17}}{2}\times \frac13=\frac{\sqrt{17}}{2}=S^{\prime}.\]
On a donc \(S^{\prime}=S\cos(\alpha)\) : l’aire du projeté orthogonal du triangle sur le plan s’obtient en multipliant l’aire du triangle par le cosinus de l’angle entre les deux plans.
