Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. a. Traduisons l’énoncé en probabilités : \(P(E)=0{,}2\), \(P(T)=0{,}8\), \(P_E(C)=0{,}5\) et \(P_T(C)=0{,}375\). Dans l’arbre pondéré, la première génération de branches mène à \(E\) (0,2) et à \(T\) (0,8) ; de \(E\) partent \(C\) (0,5) et \(\overline{C}\) (0,5), de \(T\) partent \(C\) (0,375) et \(\overline{C}\) (0,625).
La probabilité cherchée est celle de l’intersection \(E\cap C\) : on multiplie les probabilités le long du chemin \(E\to C\).
\[P(E\cap C)=P(E)\times P_E(C)=0{,}2\times 0{,}5=0{,}1.\]
La probabilité qu’un client veuille un véhicule électrique et ait consulté la plate-forme est 0,1.
b. Un client souhaite soit un véhicule électrique, soit un véhicule thermique : \(E\) et \(T\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(C)=P(E\cap C)+P(T\cap C)=0{,}1+0{,}8\times 0{,}375=0{,}1+0{,}3=0{,}4.\]
On obtient bien \(P(C)=0{,}4\).
c. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_C(E)\) :
\[P_C(E)=\dfrac{P(E\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.\]
Sachant qu’un client a consulté la plate-forme, la probabilité qu’il souhaite un véhicule électrique est 0,25. Autrement dit, un quart des clients venus par la plate-forme visent l’électrique, contre 20 % de l’ensemble des clients.
2. a. Pour chacun des 17 clients de la journée, on a une épreuve à deux issues : le succès « le client souhaite un véhicule électrique », de probabilité \(p=0{,}2\), ou l’échec. Les clients font leurs choix indépendamment les uns des autres : on répète donc 17 fois la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. \(X\) compte le nombre de succès, donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=17\) et \(p=0{,}2\).
b. On passe par l’évènement contraire : \(P(X\geq\,3)=1-P(X\leq\,2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]\), avec \(P(X=k)=\binom\,{17}{k}0{,}2^k\,0{,}8^{17-k}\) :
- \(P(X=0)=0{,}8^{17}\approx0{,}0225\) ;
- \(P(X=1)=17\times 0{,}2\times 0{,}8^{16}\approx0{,}0957\) ;
- \(P(X=2)=136\times 0{,}2^2\times 0{,}8^{15}\approx0{,}1914\).
Ainsi \(P(X\leq\,2)\approx0{,}3096\), et la probabilité qu’au moins trois clients souhaitent un véhicule électrique dans la journée est \(P(X\geq\,3)\approx0{,}69\).
Exercice 2 :
Partie A
1. En \(-\infty\). \(\lim\limits_{x\to-\infty}(x+\dfrac12)=-\infty\) et, par composition, \(\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\). Par produit, \((x+\dfrac12)\text{e}^{-x}\) tend vers \(-\infty\), et comme \(x\) tend aussi vers \(-\infty\), par somme \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).
En \(+\infty\). On développe : \(f(x)=x\text{e}^{-x}+\dfrac12\text{e}^{-x}+x\). Par croissances comparées, \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\), et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\). Les deux premiers termes tendent vers 0 et le dernier vers \(+\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
2. a. On dérive le produit \((x+\dfrac12)\text{e}^{-x}\) avec \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), où \(u(x)=x+\dfrac12\), \(u^{\prime}(x)=1\), \(v(x)=\text{e}^{-x}\), \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\) :
\[f^{\prime}(x)=\text{e}^{-x}-(x+\dfrac12)\text{e}^{-x}+1=(\dfrac12-x)\text{e}^{-x}+1.\]
On dérive une seconde fois de la même façon, avec cette fois \(u(x)=\dfrac12-x\) et \(u^{\prime}(x)=-1\) ; la constante 1 a une dérivée nulle :
\[f^{\prime\prime}(x)=-\text{e}^{-x}-(\dfrac12-x)\text{e}^{-x}=(-1-\dfrac12+x)\text{e}^{-x}=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}.\]
On a bien, pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}\).
b. Comme \(\text{e}^{-x}\gt0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x-\dfrac32\) : négatif sur \(]-\infty\,;\,\dfrac32[\), nul en \(\dfrac32\), positif sur \(]\dfrac32\,;\,+\infty[\). Donc \(f^{\prime}\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,\dfrac32]\) et croissante sur \([\dfrac32\,;\,+\infty[\). Elle admet un minimum en \(\dfrac32\) :
\[f^{\prime}(\dfrac32)=(\dfrac12-\dfrac32)\text{e}^{-\frac32}+1=1-\text{e}^{-\frac32}\approx0{,}777.\]
Le minimum de \(f^{\prime}\) sur \(\mathbb{R}\) vaut \(1-\text{e}^{-\frac32}\).
c. Comme \(-\dfrac32\lt0\) et que la fonction exponentielle est strictement croissante, \(\text{e}^{-\frac32}\lt\text{e}^0=1\), donc \(1-\text{e}^{-\frac32}\gt0\). Toutes les valeurs de \(f^{\prime}\) sont supérieures ou égales à ce minimum strictement positif : pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x)\gt0\).
d. Puisque \(f^{\prime}\gt0\), la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Elle est continue (car dérivable), et ses limites sont \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\) : 0 est une valeur intermédiaire entre ces deux limites. D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (cas d’une fonction strictement monotone), l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
e. On procède par balayage à la calculatrice : \(f(0)=0{,}5\gt0\) et \(f(-1)=-\dfrac12\text{e}-1\lt0\), puis en affinant, \(f(-0{,}2855)\approx-0{,}0001\lt0\) et \(f(-0{,}2845)\approx0{,}0019\gt0\). Donc \(-0{,}2855\lt\alpha\lt-0{,}2845\), et \(\alpha\approx-0{,}285\) à \(10^{-3}\) près.
Partie B
1. Sur le graphique, la courbe \(\mathcal{C}_h\) est d’abord tournée vers le bas (elle monte de moins en moins vite, elle est concave) depuis la gauche jusqu’aux environs de \(x=1{,}5\) ; au-delà, elle semble se redresser légèrement et devenir convexe. On conjecture un seul point d’inflexion, d’abscisse environ 1,5.
2. On factorise : \(h^{\prime\prime}(x)=(x-\dfrac32)\text{e}^{-x}\). L’exponentielle étant strictement positive, \(h^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x-\dfrac32\) : \(h^{\prime\prime}\lt0\) sur \(]-\infty\,;\,\dfrac32[\) (\(h\) concave), \(h^{\prime\prime}\gt0\) sur \(]\dfrac32\,;\,+\infty[\) (\(h\) convexe). La dérivée seconde s’annule en changeant de signe uniquement en \(\dfrac32\) : la conjecture est validée, \(\mathcal{C}_h\) a un unique point d’inflexion, d’abscisse \(1{,}5\).
3. Le coefficient directeur de (AB) est
\[m=\dfrac{y_\text{B}-y_\text{A}}{x_\text{B}-x_\text{A}}=\dfrac{3{,}5-(-2{,}5)}{2-(-2)}=\dfrac{6}{4}=1{,}5.\]
La droite a une équation \(y=1{,}5x+p\). Elle passe par B, donc \(3{,}5=1{,}5\times 2+p\), soit \(p=0{,}5\). Une équation de (AB) est \(y=1{,}5x+0{,}5\) (contrôle avec A : \(1{,}5\times (-2)+0{,}5=-2{,}5\)).
4. La tangente à \(\mathcal{C}_h\) au point d’abscisse 0 a pour équation \(y=h^{\prime}(0)x+h(0)\). Comme c’est la droite (AB), on identifie : \(h(0)=0{,}5\) et \(h^{\prime}(0)=1{,}5\).
D’une part \(h(0)=(a\times 0+b)\text{e}^{0}+0=b\), donc \(b=0{,}5\).
D’autre part, en dérivant comme dans la partie A : \(h^{\prime}(x)=a\text{e}^{-x}-(ax+b)\text{e}^{-x}+1=(a-b-ax)\text{e}^{-x}+1\), donc \(h^{\prime}(0)=a-b+1\). La condition \(a-b+1=1{,}5\) donne \(a-b=0{,}5\), puis \(a=0{,}5+0{,}5=1\).
On trouve \(a=1\) et \(b=\dfrac12\) : la fonction \(h\) n’est autre que la fonction \(f\) de la partie A, ce qui est cohérent avec l’expression de \(h^{\prime\prime}\) donnée, identique à \(f^{\prime\prime}\).
Exercice 3 :
1. \(f\) est une fonction polynôme du second degré, de coefficient dominant \(\dfrac34\gt0\) : elle est décroissante puis croissante, avec un minimum atteint en \(x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{2\times \frac34}=\dfrac43\). Ce minimum vaut
\[f(\dfrac43)=\dfrac34\times \dfrac{16}{9}-\dfrac83+3=\dfrac43-\dfrac83+3=\dfrac53.\]
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\dfrac43\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| variations de \(f\) | décroissante \(\searrow\) | \(\dfrac53\) | croissante \(\nearrow\) |
2. Sur \([\dfrac43\,;\,2]\), la fonction \(f\) est croissante. Donc si \(\dfrac43\leq\, x\leq\,2\), alors \(f(\dfrac43)\leq\, f(x)\leq\, f(2)\). Or \(f(\dfrac43)=\dfrac53\) et \(f(2)=3-4+3=2\). Ainsi \(\dfrac53\leq\, f(x)\leq\,2\), et comme \(\dfrac43\lt\dfrac53\), on a a fortiori \(f(x)\in[\dfrac43\,;\,2]\).
3. Pour tout réel \(x\) :
\[f(x)-x=\dfrac34x^2-3x+3=\dfrac34(x^2-4x+4)=\dfrac34(x-2)^2.\]
Un carré est positif et \(\dfrac34\gt0\), donc \(f(x)-x\geq\,0\) : pour tout réel \(x\), \(x\leq\, f(x)\), avec égalité seulement pour \(x=2\).
4. a. Pour que l’hérédité fonctionne, on démontre un peu plus : pour tout entier naturel \(n\), la propriété \(\mathcal{P}(n)\) : « \(\dfrac43\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,2\) ».
Initialisation. Par hypothèse \(\dfrac43\leq\, u_0\leq\,2\). D’après la question 3, \(u_1=f(u_0)\geq\, u_0\), et d’après la question 2, \(u_1=f(u_0)\leq\,2\). Donc \(\dfrac43\leq\, u_0\leq\, u_1\leq\,2\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(\dfrac43\leq\, u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,2\). Les nombres \(u_n\), \(u_{n+1}\) et 2 sont rangés dans l’intervalle \([\dfrac43\,;\,2]\), où \(f\) est croissante : elle conserve l’ordre, donc \(f(u_n)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(2)\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\leq\, u_{n+2}\leq\,2\). De plus \(u_{n+1}\geq\, u_n\geq\,\dfrac43\). Ainsi \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq\, u_{n+1}\leq\,2\).
b. D’après a, la suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n\leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 2. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge vers une limite \(\ell\) telle que \(\ell\leq\,2\).
c. La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (c’est un polynôme). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient \(\ell=f(\ell)\), soit \(f(\ell)-\ell=0\), c’est-à-dire \(\dfrac34(\ell-2)^2=0\) d’après la question 3. Donc \(\ell=2\) : la suite converge vers 2.
5. On part de \(u=3\) et \(n=0\) ; tant que \(u\) est strictement inférieur à 100, on calcule le terme suivant et on augmente \(n\) de 1. La boucle s’arrête au premier rang où \(u_n\geq\,100\), et c’est ce rang qui est renvoyé.
def seuil() :
u = 3
n = 0
while u < 100 :
u = 3/4*u**2 - 2*u + 3
n = n + 1
return n
Pour information, les termes successifs valent \(u_1=3{,}75\), \(u_2\approx6{,}05\), \(u_3\approx18{,}33\) et \(u_4\approx218{,}33\) : la fonction renvoie 4.
6. Supposons par l’absurde que \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\).
D’une part, d’après la question 3, \(u_{n+1}=f(u_n)\geq\, u_n\) pour tout \(n\) : la suite est croissante, donc \(u_n\geq\, u_0\) pour tout \(n\). En passant à la limite dans cette inégalité, \(\ell\geq\, u_0\gt2\).
D’autre part, comme à la question 4.c, \(f\) est continue, donc \(\ell=f(\ell)\), ce qui impose \(\dfrac34(\ell-2)^2=0\), c’est-à-dire \(\ell=2\).
On aurait à la fois \(\ell\gt2\) et \(\ell=2\) : c’est absurde. La suite \((u_n)\) n’est donc pas convergente lorsque \(u_0\gt2\) (croissante et non majorée, elle tend en fait vers \(+\infty\)).
Exercice 4 :
Question 1 : réponse d. On a \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}\). Un vecteur directeur de \((d)\) doit être orthogonal à ces deux vecteurs. Pour \(\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\) : \(\vec{u_4}\cdot\vec{\text{AB}}=-12+12+0=0\) et \(\vec{u_4}\cdot\vec{\text{BC}}=4-4+0=0\). Les autres échouent : \(\vec{u_1}\cdot\vec{\text{AB}}=72+18=90\neq0\), \(\vec{u_2}\cdot\vec{\text{BC}}=4-4+30=30\neq0\) et \(\vec{u_3}\cdot\vec{\text{BC}}=4-4+1=1\neq0\).
Question 2 : réponse c. Le vecteur \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}=-6\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\) : la droite (AB) est dirigée par \(\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}\). La représentation c a exactement ce vecteur directeur (coefficients de \(t\)) et passe par \(\text{A}(6\,;\,-6\,;\,6)\) pour \(t=0\) ; on vérifie aussi que \(t=-6\) donne \((-6\,;\,0\,;\,6)\), c’est-à-dire B. Les vecteurs directeurs de a \(\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\), b \(\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}\) et d \(\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires à \(\vec{\text{AB}}\).
Question 3 : réponse c. Les coefficients de \(t\) dans la représentation de \((d^{\prime})\) donnent le vecteur directeur \(\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}\). Son opposé \(\vec{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}\) lui est colinéaire, donc dirige aussi \((d^{\prime})\). Aucun des trois autres vecteurs n’est proportionnel à \(\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}\) (par exemple \(\vec{v_4}\) a les deux premières coordonnées de même signe).
Question 4 : réponse a. Pour \(\text{M}_1(50\,;\,-28\,;\,-29)\), l’équation \(-6-8t=50\) donne \(t=-7\) ; on vérifie alors \(y=4\times (-7)=-28\) et \(z=6+5\times (-7)=-29\) : les trois coordonnées concordent. Pour les autres, la deuxième équation fixe \(t\) (\(t=-1\) pour \(\text{M}_2\) et \(\text{M}_3\), \(t=0\) pour \(\text{M}_4\)), mais la première coordonnée obtenue (2, 2 et \(-6\)) ne correspond pas.
Question 5 : réponse a. Un plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\) admet \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) comme vecteur normal. L’équation \(x=1\) s’écrit \(1\times x+0\times y+0\times z-1=0\), d’où le vecteur normal \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\).
Retour à l’énoncé : Bac de maths 2023 en Polynésie (septembre) : sujet et corrigé.
