Corrigé étrangers 2022 : présentation de la correction
D’abord, précisons que ce corrigé étrangers 2022 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2022 aux centres étrangers (jour 2), avec une rédaction complète des réponses. Ainsi, vous trouverez 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien, la convexité et la géométrie dans l’espace. Pour vous situer, l’épreuve dure 4 heures, soit environ 60 minutes par exercice si vous répartissez le temps équitablement. De cette façon, vous pouvez vérifier non seulement vos résultats, mais aussi la qualité de votre rédaction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. On écrit \(f(x)=x\,\text{e}^{-x}\) : c’est un produit \(uv\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=\text{e}^{-x}\), donc \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=-\text{e}^{-x}\).
\[f^{\prime}(x)=1\times \text{e}^{-x}+x\times (-\text{e}^{-x})=(1-x)\,\text{e}^{-x}.\]
Réponse c.
2. On lit le signe de \(f^{\prime\prime}\) sur le graphique : \(f^{\prime\prime}(x)\geq\, 0\) sur \([-3\,;\,-1]\) et \(f^{\prime\prime}(x)\leq\, 0\) sur \([-1\,;\,1]\), avec \(f^{\prime\prime}(-1)=0\). Or \(f^{\prime\prime}\) est la dérivée de \(f^{\prime}\) : la fonction \(f^{\prime}\) est donc croissante sur \([-3\,;\,-1]\) puis décroissante sur \([-1\,;\,1]\). Elle atteint son maximum en \(x=-1\).
Les autres propositions sont fausses : sur \([-1\,;\,1]\), \(f^{\prime\prime}\leq\, 0\) donc \(f\) est concave et non convexe (a) ; sur \([-2\,;\,-1]\), \(f^{\prime\prime}\geq\, 0\) donc \(f\) n’est pas concave sur \([-2\,;\,0]\) (b) et \(f^{\prime}\) y croît (c).
Réponse d.
3. Il suffit de dériver la proposition c, qui est de la forme \(-\dfrac{1}{2}uv\) avec \(u(x)=x^2+1\) et \(v(x)=\text{e}^{-x^2}\), donc \(u^{\prime}(x)=2x\) et \(v^{\prime}(x)=-2x\,\text{e}^{-x^2}\) :
\[F^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{2}[2x\,\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)(-2x)\text{e}^{-x^2}]=-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-x^2}(2x-2x^3-2x)=x^3\text{e}^{-x^2}=f(x).\]
Pour vérifier qu’aucune autre ne convient : la dérivée de b vaut \((-x^3+\dfrac{1}{2}x^5)\text{e}^{-x^2}\), celle de a vaut \(\dfrac{1}{6}(2x^4-3x^2+2x)\text{e}^{-x^2}\) et celle de d vaut \((4x^5-14x^3+6x)\text{e}^{-x^2}\) : aucune n’est égale à \(f(x)\).
Réponse c.
4. On a une forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(\text{e}^x\) au numérateur et au dénominateur : pour \(x\gt 0\),
\[\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}=\dfrac{\text{e}^x(1+\text{e}^{-x})}{\text{e}^x(1-\text{e}^{-x})}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}.\]
Comme \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\), le quotient tend vers \(\dfrac{1+0}{1-0}=1\). Réponse b.
Exercice 1 du corrigé étrangers 2022 : questions 5 à 6
5. La fonction \(f\) est de la forme \(\text{e}^{u}\) avec \(u(x)=2x+1\) et \(u^{\prime}(x)=2\). Une primitive de \(u^{\prime}\text{e}^u\) est \(\text{e}^u\), donc une primitive de \(f=\dfrac{1}{2}u^{\prime}\text{e}^u\) est \(x\longmapsto \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}\). Les primitives de \(f\) sont donc les fonctions \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}+k\), \(k\in\mathbb{R}\).
La condition \(F(0)=1\) donne \(\dfrac{1}{2}\text{e}+k=1\), soit \(k=1-\dfrac{1}{2}\text{e}\). Ainsi \(F(x)=\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\text{e}+1\). Réponse c.
6. Sur le graphique, la courbe de \(f\) « tourne vers le bas » (elle est sous ses tangentes) entre \(-2\) et 1, puis « tourne vers le haut » entre 1 et 4 : \(f\) est concave sur \([-2\,;\,1]\) et convexe sur \([1\,;\,4]\), avec un point d’inflexion d’abscisse 1. On cherche donc une fonction \(f^{\prime\prime}\) négative sur \([-2\,;\,1]\), positive sur \([1\,;\,4]\) et qui s’annule en 1.
La courbe b a le signe contraire ; les courbes c et d représentent des fonctions positives sur une grande partie de \([-2\,;\,1]\). Seule la droite a (négative avant 1, nulle en 1, positive après) convient. Réponse a.
| Question | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | c | d | c | b | c | a |
Exercice 2 :
1. Limite en 0. D’après la croissance comparée, \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)=0\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0+1=\) 1.
Limite en \(+\infty\). On a \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), donc par produit \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\) \(+\infty\).
2. a. Le terme \(x\ln(x)\) est le produit de \(u(x)=x\) et \(v(x)=\ln(x)\), avec \(u^{\prime}(x)=1\) et \(v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). La constante 1 a une dérivée nulle. Donc, pour tout \(x\gt 0\) :
\[f^{\prime}(x)=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1.\]
b. On étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\) : comme la fonction exponentielle est strictement croissante,
\[1+\ln(x)\gt 0\iff\ln(x)\gt -1\iff x\gt\text{e}^{-1}.\]
Donc \(f^{\prime}\) est négative sur \(]0\,;\,\text{e}^{-1}]\) et positive sur \([\text{e}^{-1}\,;\,+\infty[\) : \(f\) est décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x=\text{e}^{-1}\). Sa valeur est
\[f(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})+1=-\text{e}^{-1}+1=1-\dfrac{1}{\text{e}}\approx 0{,}632.\]
| \(x\) | \(0\) | \(\text{e}^{-1}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| variations de \(f\) | || \(1\) | \(\searrow\) | \(1-\text{e}^{-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
c. Soit \(x\in\,]0\,;\,1[\). D’une part, \(\ln(x)\lt 0\) et \(x\gt 0\), donc \(x\ln(x)\lt 0\) et \(f(x)\lt 1\). D’autre part, le minimum de \(f\) sur \(]0\,;\,+\infty[\) vaut \(1-\text{e}^{-1}\), qui est strictement positif car \(\text{e}^{-1}\lt 1\) ; donc \(f(x)\geq\, 1-\text{e}^{-1}\gt 0\). Finalement \(0\lt f(x)\lt 1\) pour tout \(x\in\,]0\,;\,1[\).
3. a. La tangente au point d’abscisse 1 a pour équation \(y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\). Or \(f(1)=1\times \ln(1)+1=1\) et \(f^{\prime}(1)=1+\ln(1)=1\). D’où \(y=1\times (x-1)+1\), c’est-à-dire \((T)\,:\,y=x\).
b. La fonction \(f^{\prime}\,:\,x\mapsto 1+\ln(x)\) est dérivable sur \(]0\,;\,+\infty[\) et \(f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{1}{x}\). Pour \(x\gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\gt 0\) : \(f\) est convexe sur \(]0\,;\,+\infty[\).
Exercice 2 : question 4
c. Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. En particulier, \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de \((T)\,:\,y=x\), ce qui se traduit par \(f(x)\geq\, x\) pour tout \(x\gt 0\).
4. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(0\lt u_n\lt 1\) ».
Initialisation. Par hypothèse, \(u_0\in\,]0\,;\,1[\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(0\lt u_n\lt 1\). D’après la question 2. c., l’image par \(f\) d’un réel de \(]0\,;\,1[\) est dans \(]0\,;\,1[\). Donc \(f(u_n)\in\,]0\,;\,1[\), c’est-à-dire \(0\lt u_{n+1}\lt 1\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par le principe de récurrence, \(0\lt u_n\lt 1\) pour tout entier naturel \(n\).
b. Pour tout \(n\), \(u_n\gt 0\), donc l’inégalité de la question 3. c. s’applique à \(x=u_n\) : \(f(u_n)\geq\, u_n\), soit \(u_{n+1}\geq\, u_n\). La suite \((u_n)\) est croissante.
c. La suite \((u_n)\) est croissante (question 4. b.) et majorée par 1 (question 4. a.). D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite finie inférieure ou égale à 1.
Exercice 3 :
1. On calcule les coordonnées de trois vecteurs issus de A :
\[\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix},\quad\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix},\quad\vec{\text{AD}}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}.\]
Les vecteurs \(\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) ne sont pas colinéaires (la deuxième coordonnée de \(\vec{\text{AC}}\) est nulle, pas celle de \(\vec{\text{AB}}\)), donc A, B, C définissent un plan. Les quatre points sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels \(a\) et \(b\) tels que \(\vec{\text{AD}}=a\vec{\text{AB}}+b\vec{\text{AC}}\), c’est-à-dire :
\[\{\begin{array}{l}3a+3b=-3\\3a=6\\3a-3b=-3\end{array}.\]
La deuxième équation donne \(a=2\). La première donne alors \(b=-1-a=-3\) et la troisième \(b=a+1=3\) : contradiction. Le système n’a pas de solution, donc A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2. a. Calculons le produit scalaire \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AC}}=3\times 3+3\times 0+3\times (-3)=9+0-9=0\). Les vecteurs sont orthogonaux : le triangle ABC est rectangle en A.
b. On a \(\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{AB}}=(-3)\times 3+6\times 3+(-3)\times 3=-9+18-9=0\) et \(\vec{\text{AD}}\cdot\vec{\text{AC}}=(-3)\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3)=-9+9=0\).
Le vecteur \(\vec{\text{AD}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c’est un vecteur normal à ce plan. La droite (AD) est donc perpendiculaire au plan (ABC), et elle le coupe en A.
c. On prend ABC comme base ; la hauteur correspondante est AD puisque (AD) est perpendiculaire à (ABC) en A. On calcule les longueurs :
\[\text{AB}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3},\quad\text{AC}=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},\quad\text{AD}=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}.\]
Le triangle ABC étant rectangle en A, son aire vaut \(\mathcal{A}_{\text{ABC}}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\). D’où
\[V=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\times 3\sqrt{6}=\dfrac{9\times 3\times 6}{6}=27.\]
Le volume du tétraèdre ABCD est 27 unités de volume.
Exercice 3 du corrigé étrangers 2022 : questions 3 à 4
3. a. On a \(\vec{\text{BH}}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}\), \(\vec{\text{BC}}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{BD}}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}\). L’égalité \(\vec{\text{BH}}=\alpha\vec{\text{BC}}+\beta\vec{\text{BD}}\) équivaut au système :
\[\{\begin{array}{l}-6\beta=-1\\-3\alpha+3\beta=-1\\-6\alpha-6\beta=-4\end{array}.\]
La première ligne donne \(\beta=\dfrac{1}{6}\). La deuxième devient \(-3\alpha+\dfrac{1}{2}=-1\), soit \(\alpha=\dfrac{1}{2}\). On vérifie la troisième : \(-6\times \dfrac{1}{2}-6\times \dfrac{1}{6}=-3-1=-4\). Le système est compatible : \(\vec{\text{BH}}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{BC}}+\dfrac{1}{6}\vec{\text{BD}}\).
b. D’après a., H appartient au plan (BCD) (les vecteurs \(\vec{\text{BC}}\) et \(\vec{\text{BD}}\) ne sont pas colinéaires puisque B, C, D sont trois points d’un tétraèdre). Il reste à montrer que \(\vec{\text{AH}}\) est normal à ce plan. On a \(\vec{\text{AH}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\) et :
\[\vec{\text{AH}}\cdot\vec{\text{BC}}=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6)=0,\qquad\vec{\text{AH}}\cdot\vec{\text{BD}}=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6)=0.\]
Le vecteur \(\vec{\text{AH}}\) est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), donc (AH) est perpendiculaire à ce plan. Comme H est dans le plan, H est le projeté orthogonal de A sur (BCD).
c. La distance de A au plan (BCD) est la longueur AH : \(\text{AH}=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{9}=3\). La distance cherchée vaut 3 unités de longueur.
4. On calcule le volume du même tétraèdre en prenant cette fois BCD comme base : la hauteur associée est AH. Donc \(V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{\text{BCD}}\times \text{AH}\), d’où
\[\mathcal{A}_{\text{BCD}}=\dfrac{3V}{\text{AH}}=\dfrac{3\times 27}{3}=27.\]
L’aire du triangle BCD vaut 27 unités d’aire.
Exercice 4 :
1. a. On note B l’événement « le jeton tiré est blanc » et N l’événement « le jeton tiré est noir ». L’urne contient 5 jetons dont 3 blancs, et le tirage se fait avec remise : à chaque tirage, \(P(\text{B})=\dfrac{3}{5}\) et \(P(\text{N})=\dfrac{2}{5}\), quelle que soit la couleur tirée avant.
b. On perd 9 € lorsque les deux jetons sont blancs. En suivant la branche B puis B :
\[P(\text{B}\cap\text{B})=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}=0{,}36.\]
La probabilité de perdre 9 € est \(\dfrac{9}{25}\).
2. a. L’urne contient maintenant \(N+3\) jetons, dont 3 blancs et \(N\) noirs. À chaque tirage, \(P(\text{B})=\dfrac{3}{N+3}\) et \(P(\text{N})=\dfrac{N}{N+3}\). Les valeurs possibles du gain sont \(-9\), \(-1\) et \(5\).
- \(P(X=-9)=(\dfrac{3}{N+3})^2=\dfrac{9}{(N+3)^2}\) (deux blancs) ;
- \(P(X=-1)=(\dfrac{N}{N+3})^2=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}\) (deux noirs) ;
- \(P(X=5)=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}+\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\) (blanc puis noir, ou noir puis blanc).
| \(x_i\) | \(-9\) | \(-1\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{9}{(N+3)^2}\) | \(\dfrac{N^2}{(N+3)^2}\) | \(\dfrac{6N}{(N+3)^2}\) |
On vérifie que la somme vaut 1 : \(9+N^2+6N=(N+3)^2\).
b. Le trinôme \(-x^2+30x-81\) a pour discriminant \(\Delta=30^2-4\times (-1)\times (-81)=900-324=576=24^2\). Ses racines sont \(x_1=\dfrac{-30+24}{-2}=3\) et \(x_2=\dfrac{-30-24}{-2}=27\). Son coefficient dominant \(-1\) est négatif, donc le trinôme est strictement positif entre ses racines. L’ensemble des solutions est \(]3\,;\,27[\).
c. Le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance de gain est strictement positive. Or
\[E(X)=-9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}=\dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}.\]
Le dénominateur est strictement positif, donc \(E(X)\gt 0\iff -N^2+30N-81\gt 0\iff N\in\,]3\,;\,27[\) d’après b. Comme \(N\) est un entier, le jeu est favorable au joueur lorsque l’urne contient entre 4 et 26 jetons noirs (bornes comprises).
Exercice 4 : question 3
d. On étudie la fonction \(g\) définie sur \([2\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}\), qui donne \(E(X)\) lorsque \(x=N\). Avec la formule \((\dfrac{u}{v})^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\), \(u(x)=-x^2+30x-81\) et \(v(x)=(x+3)^2\) :
\[g^{\prime}(x)=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)(-x^2+30x-81)}{(x+3)^4}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)}{(x+3)^3}.\]
Au numérateur : \(-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162=-36x+252=-36(x-7)\). Donc \(g^{\prime}(x)=\dfrac{-36(x-7)}{(x+3)^3}\) : positive pour \(x\lt 7\), nulle en 7, négative pour \(x\gt 7\). La fonction \(g\) est croissante sur \([2\,;\,7]\) puis décroissante : son maximum est atteint en \(x=7\), qui est un entier.
Le joueur doit demander 7 jetons noirs ; le gain moyen vaut alors \(E(X)=\dfrac{-49+210-81}{100}=0{,}8\) €.
3. Avec \(N=7\), la probabilité qu’un joueur gagne 5 € est \(p=\dfrac{6\times 7}{10^2}=0{,}42\). Soit \(Y\) le nombre de joueurs gagnant 5 € parmi les 10. Les 10 parties sont identiques et indépendantes, chacune ayant deux issues (gagner 5 € ou non) : \(Y\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=10\) et \(p=0{,}42\).
\[P(Y\geq\, 1)=1-P(Y=0)=1-(1-0{,}42)^{10}=1-0{,}58^{10}\approx 0{,}996.\]
La probabilité qu’au moins un joueur gagne 5 euros est d’environ 0,996.
Bien travailler ce corrigé étrangers 2022
Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction exponentielle ou la fonction logarithme népérien. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction exponentielle propose un rappel complet.
Les erreurs fréquentes à éviter
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Corrigé étrangers 2022 : questions fréquentes
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien et la convexité, mais aussi la géométrie dans l’espace.
Faut-il tout justifier ? Dans la plupart des questions, oui : c’est pourquoi la rédaction compte autant que le résultat, sauf dans les QCM où seule la réponse est demandée.
Ainsi, Retour à l’énoncé : Bac de maths 2022 aux centres étrangers (jour 2) : sujet et corrigé.
