Corrigé Nord 2021 : ce que contient la correction
D’abord, précisons que ce corrigé Nord 2021 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2021 en Amérique du Nord, avec une rédaction complète des réponses. En effet, l’épreuve se compose de 5 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, la convexité et la loi binomiale. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 48 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. L’énoncé donne \(P(D)=0{,}08\), donc \(P(\overline{D})=1-0{,}08=0{,}92\). La sensibilité se traduit par \(P_D(T)=0{,}98\), d’où \(P_D(\overline{T})=0{,}02\). La spécificité se traduit par \(P_{\overline{D}}(\overline{T})=0{,}995\), d’où \(P_{\overline{D}}(T)=0{,}005\). On obtient l’arbre pondéré suivant :
2. Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T)=P(D)\times P_D(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)\]
\[P(T)=0{,}08\times 0{,}98+0{,}92\times 0{,}005=0{,}0784+0{,}0046=0{,}083.\]
On a bien \(P(T)=0{,}083\).
3. a. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(D)\) :
\[P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}0784}{0{,}083}\approx0{,}9446.\]
Sachant que son test est positif, un athlète est dopé avec une probabilité d’environ \(0{,}945\).
b. On vient de trouver \(P_T(D)\approx0{,}945\), et \(0{,}945\lt 0{,}95\) (la valeur exacte \(0{,}9446\ldots\) est elle aussi strictement inférieure à \(0{,}95\)). La condition fixée par le laboratoire n’est pas remplie : le test ne sera pas commercialisé.
Partie B
1. a. On répète 5 fois, de façon identique et indépendante (on admet que les athlètes sont choisis au hasard dans un effectif suffisamment grand), une épreuve de Bernoulli dont le succès « l’athlète présente un test positif » a pour probabilité \(p=0{,}103\). \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}103\).
b. Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=5\times 0{,}103=\) \(0{,}515\).
Interprétation : si l’on répète un grand nombre de fois le contrôle de 5 athlètes, on obtiendra en moyenne un peu plus d’un demi test positif par groupe de 5 athlètes contrôlés (soit environ 52 tests positifs pour 100 groupes de 5 athlètes).
c. L’évènement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif », c’est-à-dire \(X=0\) :
\[P(X\geq\,1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}103)^5=1-0{,}897^5\approx1-0{,}581.\]
La probabilité qu’au moins un des 5 athlètes présente un test positif est environ \(0{,}419\).
2. Si l’on contrôle \(n\) athlètes, le nombre de tests positifs suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}103\), et comme ci-dessus la probabilité d’avoir au moins un test positif vaut \(1-0{,}897^n\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que :
\[1-0{,}897^n\geq\,0{,}75\iff0{,}897^n\leq\,0{,}25.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}897)\leq\,\ln(0{,}25)\). Comme \(0\lt 0{,}897\lt 1\), on a \(\ln(0{,}897)\lt 0\) et l’on change le sens de l’inégalité en divisant :
\[n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}897)}\approx12{,}75.\]
Vérification : \(1-0{,}897^{12}\approx0{,}729\lt 0{,}75\) et \(1-0{,}897^{13}\approx0{,}757\geq\,0{,}75\). Il faut donc contrôler au minimum 13 athlètes.
Exercice 2 :
1. Le début de l’année 2021 correspond à \(n=1\) :
\[u_1=0{,}75\times 0{,}6\times (1-0{,}15\times 0{,}6)=0{,}45\times 0{,}91=0{,}4095.\]
Le début de l’année 2022 correspond à \(n=2\) :
\[u_2=0{,}75\times 0{,}4095\times (1-0{,}15\times 0{,}4095)=0{,}307125\times 0{,}938575\approx0{,}2883.\]
Les nombres étant en milliers, le modèle prévoit environ 409 ou 410 individus au début de 2021 (\(409{,}5\) exactement) et environ 288 individus au début de 2022.
2. \(f\) est un polynôme, donc dérivable sur \([0~;~1]\). En développant, \(f(x)=0{,}75x-0{,}1125x^2\), d’où :
\[f^{\prime}(x)=0{,}75-0{,}225x.\]
Pour \(0\leq\, x\leq\,1\), on a \(0{,}225x\leq\,0{,}225\), donc \(f^{\prime}(x)\geq\,0{,}75-0{,}225=0{,}525\gt 0\). La dérivée est strictement positive, donc \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~1]\). Avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=0{,}75\times 0{,}85=0{,}6375\), on obtient le tableau :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(0{,}6375\) |
3. Pour \(x\in[0~;~1]\) :
\[f(x)=x\iff0{,}75x-0{,}1125x^2-x=0\iff x(-0{,}25-0{,}1125x)=0.\]
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x=0\) ou \(x=-\dfrac{0{,}25}{0{,}1125}=-\dfrac{20}{9}\). Cette seconde valeur est négative, donc n’appartient pas à \([0~;~1]\). L’équation a pour unique solution \(x=0\) dans \([0~;~1]\).
4. a. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\) ».
Initialisation : \(u_0=0{,}6\) et \(u_1=0{,}4095\), donc \(0\leq\, u_1\leq\, u_0\leq\,1\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
Hérédité : supposons \(\mathcal{P}_n\) vraie pour un entier \(n\) quelconque, c’est-à-dire \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\). Tous ces nombres sont dans \([0~;~1]\), où \(f\) est croissante : appliquer \(f\) conserve donc l’ordre, et \(f(0)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(u_n)\leq\, f(1)\), soit \(0\leq\, u_{n+2}\leq\, u_{n+1}\leq\,0{,}6375\leq\,1\). \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\).
b. D’après la question précédente, la suite \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1}\leq\, u_n\)) et minorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.
c. Soit \(\ell\) sa limite. Tous les termes sont dans \([0~;~1]\), donc \(\ell\in[0~;~1]\). La fonction \(f\) est continue sur \([0~;~1]\) (c’est un polynôme) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) : en passant à la limite, \(\ell=f(\ell)\). D’après la question 3, la seule solution de cette équation dans \([0~;~1]\) est 0, donc \(\ell=0\).
Exercice 2 du corrigé Nord 2021 : question 5
5. a. Puisque \((u_n)\) tend vers 0, tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. En particulier, avec l’intervalle \(]-0{,}02~;~0{,}02[\), il existe un rang à partir duquel \(u_n\lt 0{,}02\), c’est-à-dire moins de 20 individus. Selon ce modèle, l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction : le biologiste a raison.
b. La fonction calcule les termes successifs de la suite tant que \(u\) reste strictement supérieur à \(0{,}02\), en comptant les étapes dans \(n\) ; elle renvoie donc le premier indice \(n\) tel que \(u_n\leq\,0{,}02\). (Dans un vrai programme Python, les nombres s’écrivent avec un point : 0.6, 0.02, 0.75, 0.15.) Les valeurs successives, arrondies à \(10^{-4}\), sont :
| \(n\) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 0,1102 | 0,0813 | 0,0602 | 0,0448 | 0,0333 | 0,0249 | 0,0186 |
Comme \(u_{10}\approx0{,}0249\gt 0{,}02\) et \(u_{11}\approx0{,}0186\leq\,0{,}02\), l’appel menace() renvoie 11.
Interprétation : \(n=11\) correspond à l’année \(2020+11=2031\). Selon ce modèle, la population passe pour la première fois à 20 individus ou moins au début de l’année 2031 (environ 19 individus) : c’est à partir de cette date que l’espèce sera menacée d’extinction sur l’île.
Exercice 3 :
1. Utilisons les milieux. I est le milieu de [EF] et K celui de [AE]. Travaillons avec des vecteurs : \(\vec{\text{AI}}=\vec{\text{AE}}+\vec{\text{EI}}=\vec{\text{AE}}+\dfrac{1}{2}\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{KH}}=\vec{\text{KE}}+\vec{\text{EH}}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{AE}}+\vec{\text{AD}}\).
Le vecteur \(\vec{\text{AI}}\) s’écrit sans \(\vec{\text{AD}}\) alors que \(\vec{\text{KH}}\) en contient ; comme \(\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{AD}}\), \(\vec{\text{AE}}\) ne sont pas coplanaires, ces deux vecteurs ne peuvent pas être colinéaires. Autre façon de le voir : la droite (AI) est contenue dans le plan (ABF) de la face avant, la droite (KH) coupe ce plan uniquement au point K (H n’y est pas), et K n’est pas sur (AI) ; si les droites étaient parallèles, (KH) serait parallèle à un plan qu’elle coupe en un seul point, ce qui est impossible. Les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
2. a. Dans le repère \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\) : \(\text{A}(0~;~0~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0~;~0)\), \(\text{C}(1~;~1~;~0)\), \(\text{E}(0~;~0~;~1)\), \(\text{F}(1~;~0~;~1)\). En prenant les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[\text{I}(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1)\quad\text{et}\quad\text{J}(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0).\]
b. On a \(\vec{\text{IJ}}(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1)\), \(\vec{\text{AE}}(0~;~0~;~1)\) et \(\vec{\text{AC}}(1~;~1~;~0)\). On remarque que
\[\dfrac{1}{2}\vec{\text{AC}}-\vec{\text{AE}}=(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~0)-(0~;~0~;~1)=(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1)=\vec{\text{IJ}}.\]
\(\vec{\text{IJ}}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.
3. Un vecteur directeur de \(d_1\) est \(\vec{u_1}(1~;~-2~;~3)\) et un vecteur directeur de \(d_2\) est \(\vec{u_2}(1~;~1~;~2)\). Les premières coordonnées sont égales (1 et 1) mais pas les deuxièmes (\(-2\) et 1) : s’il existait un réel \(k\) avec \(\vec{u_2}=k\vec{u_1}\), on aurait \(k=1\) puis \(1=-2\), ce qui est faux. Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.
Exercice 3 du corrigé Nord 2021 : questions 4 à 5
4. D’après son équation, le plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1~;~3~;~-2)\). Calculons :
\[\vec{u_2}\cdot\vec{n}=1\times 1+1\times 3+2\times (-2)=1+3-4=0.\]
Le vecteur directeur de \(d_2\) est orthogonal à un vecteur normal du plan, donc \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\). On peut préciser : le point \((4~;~1~;~8)\) de \(d_2\) vérifie \(4+3-16+2=-7\neq0\), il n’est pas dans \(\mathcal{P}\), donc \(d_2\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\).
5. Deux conditions sont à vérifier : L appartient à \(\mathcal{P}\), et la droite (ML) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).
- \(4+3\times 0-2\times 3+2=4-6+2=0\) : les coordonnées de L vérifient l’équation, donc \(\text{L}\in\mathcal{P}\).
- \(\vec{\text{LM}}(5-4~;~3-0~;~1-3)=(1~;~3~;~-2)=\vec{n}\) : le vecteur \(\vec{\text{LM}}\) est normal au plan, donc (LM) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).
L est donc le projeté orthogonal de M sur le plan \(\mathcal{P}\).
Exercice A :
Affirmation 1 : fausse. Par les propriétés de l’exponentielle, \((\text{e}^{a+b})^2=\text{e}^{2(a+b)}=\text{e}^{2a}\times \text{e}^{2b}\), un produit et non une somme. Contre-exemple : avec \(a=b=0\), le membre de gauche vaut \((\text{e}^0)^2=1\) et celui de droite \(\text{e}^0+\text{e}^0=2\).
Affirmation 2 : vraie. \(f(0)=-2+3\times \text{e}^0=1\). Par la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), \(f^{\prime}(x)=-\text{e}^x+(3-x)\text{e}^x=(2-x)\text{e}^x\), donc \(f^{\prime}(0)=2\). La tangente en A a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=2x+1\).
Affirmation 3 : fausse. On factorise : \(\text{e}^{2x}-\text{e}^x=\text{e}^x(\text{e}^x-1)\). Quand \(x\to+\infty\), \(\text{e}^x\to+\infty\) et \(\text{e}^x-1\to+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\) ; de plus \(\dfrac{3}{x}\to0\). Par somme, la limite vaut \(+\infty\), et non 0.
Affirmation 4 : vraie. Soit \(h(x)=1-x+\text{e}^{-x}\) sur \([0~;~2]\). \(h\) est dérivable et \(h^{\prime}(x)=-1-\text{e}^{-x}\lt 0\) : \(h\) est continue et strictement décroissante. De plus \(h(0)=1-0+1=2\gt 0\) et \(h(2)=-1+\text{e}^{-2}\approx-0{,}865\lt 0\). Comme 0 est compris entre \(h(2)\) et \(h(0)\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(h(x)=0\) admet une unique solution sur \([0~;~2]\).
Affirmation 5 : vraie. \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g^{\prime}(x)=2x-5+\text{e}^x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=2+\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x\gt 0\), on a \(g^{\prime\prime}(x)\gt 2\gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Exercice B :
1. Le point A(1 ; 4) appartient à \(\mathcal{C}_f\), donc \(f(1)=4\). La tangente en A est horizontale, son coefficient directeur est nul : \(f^{\prime}(1)=0\).
2. On écrit \(f=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=a+b\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{b}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\). Alors, pour \(x\gt 0\) :
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v(x)^2}=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-(a+b\ln x)}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.\]
3. Avec \(\ln1=0\) : \(f(1)=\dfrac{a+0}{1}=a\), donc \(a=4\). Et \(f^{\prime}(1)=\dfrac{b-a-0}{1}=b-a\), donc \(b-a=0\), soit \(b=a=4\). Ainsi \(a=4\) et \(b=4\).
4. En 0 : \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to0^+}(4+4\ln x)=-\infty\) ; et \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) (l’axe des ordonnées est asymptote verticale).
En \(+\infty\) : on écrit \(f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times \dfrac{\ln x}{x}\). On a \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0\) et, par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) (l’axe des abscisses est asymptote horizontale).
5. D’après la question 2 avec \(a=b=4\) : \(f^{\prime}(x)=\dfrac{4-4-4\ln x}{x^2}=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\). Comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-4\ln x\) : positif si \(0\lt x\lt 1\) (car \(\ln x\lt 0\)), nul en 1, négatif si \(x\gt 1\). Le maximum est \(f(1)=4\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
| variations de \(f\) | || \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) |
6. On dérive \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\) comme un quotient, avec \(u(x)=-4\ln x\), \(u^{\prime}(x)=-\dfrac{4}{x}\), \(v(x)=x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\) :
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-\dfrac{4}{x}\times x^2-(-4\ln x)\times 2x}{x^4}=\dfrac{-4x+8x\ln x}{x^4}=\dfrac{x(-4+8\ln x)}{x^4}=\dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.\]
Exercice B du corrigé Nord 2021 : question 7
7. Pour \(x\gt 0\), \(x^3\gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-4+8\ln x\). Or \(-4+8\ln x\gt 0\iff\ln x\gt \dfrac{1}{2}\iff x\gt \text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}\) (la fonction exponentielle est strictement croissante).
Ainsi \(f^{\prime\prime}\) est strictement négative sur \(]0~;~\sqrt{\text{e}}[\) (\(f\) concave) et strictement positive sur \(]\sqrt{\text{e}}~;~+\infty[\) (\(f\) convexe). \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe uniquement en \(x=\sqrt{\text{e}}\) : la courbe possède donc un unique point d’inflexion, d’abscisse \(\sqrt{\text{e}}\approx1{,}649\). Son ordonnée vaut
\[f(\sqrt{\text{e}})=\dfrac{4+4\times \dfrac{1}{2}}{\sqrt{\text{e}}}=\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\approx3{,}639.\]
Le point d’inflexion est \(\text{B}(\sqrt{\text{e}}~;~\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}})\), soit environ \((1{,}649~;~3{,}639)\).
Corrigé Nord 2021 : méthode pour bien s’entraîner
Pour commencer, reprenez l’énoncé du sujet et cherchez chaque exercice seul, au brouillon puis au propre. Puis confrontez votre travail à la correction en vérifiant chaque argument, car une bonne valeur sans justification rapporte peu de points. En outre, identifiez les chapitres qui vous ont bloqué, notamment la fonction logarithme népérien ou la fonction exponentielle, puis reprenez le cours correspondant. Enfin, revenez sur les questions manquées quelques jours après : c’est ainsi que la méthode s’installe durablement. En complément, l’article fonction logarithme de Wikipédia rappelle les définitions et propriétés utiles.
Les erreurs qui coûtent des points
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- La convexité se lit sur le signe de la dérivée seconde, pas sur celui de la dérivée : c’est une confusion très courante.
Questions fréquentes sur ce corrigé Nord 2021
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Avant tout, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et la convexité, mais aussi la loi binomiale.
Faut-il tout justifier ? Oui, en règle générale ; en revanche, dans un QCM, l’énoncé précise le plus souvent qu’aucune justification n’est attendue.
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