Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. L’énoncé donne \(P(D)=0{,}08\), donc \(P(\overline{D})=1-0{,}08=0{,}92\). La sensibilité se traduit par \(P_D(T)=0{,}98\), d’où \(P_D(\overline{T})=0{,}02\). La spécificité se traduit par \(P_{\overline{D}}(\overline{T})=0{,}995\), d’où \(P_{\overline{D}}(T)=0{,}005\). On obtient l’arbre pondéré suivant :
2. Les évènements \(D\) et \(\overline{D}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales :
\[P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T)=P(D)\times P_D(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)\]
\[P(T)=0{,}08\times 0{,}98+0{,}92\times 0{,}005=0{,}0784+0{,}0046=0{,}083.\]
On a bien \(P(T)=0{,}083\).
3. a. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_T(D)\) :
\[P_T(D)=\dfrac{P(D\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}0784}{0{,}083}\approx0{,}9446.\]
Sachant que son test est positif, un athlète est dopé avec une probabilité d’environ \(0{,}945\).
b. On vient de trouver \(P_T(D)\approx0{,}945\), et \(0{,}945\lt 0{,}95\) (la valeur exacte \(0{,}9446\ldots\) est elle aussi strictement inférieure à \(0{,}95\)). La condition fixée par le laboratoire n’est pas remplie : le test ne sera pas commercialisé.
Partie B
1. a. On répète 5 fois, de façon identique et indépendante (on admet que les athlètes sont choisis au hasard dans un effectif suffisamment grand), une épreuve de Bernoulli dont le succès « l’athlète présente un test positif » a pour probabilité \(p=0{,}103\). \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=5\) et \(p=0{,}103\).
b. Pour une loi binomiale, \(E(X)=np=5\times 0{,}103=\) \(0{,}515\).
Interprétation : si l’on répète un grand nombre de fois le contrôle de 5 athlètes, on obtiendra en moyenne un peu plus d’un demi test positif par groupe de 5 athlètes contrôlés (soit environ 52 tests positifs pour 100 groupes de 5 athlètes).
c. L’évènement « au moins un test positif » est le contraire de « aucun test positif », c’est-à-dire \(X=0\) :
\[P(X\geq\,1)=1-P(X=0)=1-(1-0{,}103)^5=1-0{,}897^5\approx1-0{,}581.\]
La probabilité qu’au moins un des 5 athlètes présente un test positif est environ \(0{,}419\).
2. Si l’on contrôle \(n\) athlètes, le nombre de tests positifs suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}103\), et comme ci-dessus la probabilité d’avoir au moins un test positif vaut \(1-0{,}897^n\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que :
\[1-0{,}897^n\geq\,0{,}75\iff0{,}897^n\leq\,0{,}25.\]
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0~;~+\infty[\), donc cette inégalité équivaut à \(n\ln(0{,}897)\leq\,\ln(0{,}25)\). Comme \(0\lt 0{,}897\lt 1\), on a \(\ln(0{,}897)\lt 0\) et l’on change le sens de l’inégalité en divisant :
\[n\geq\,\dfrac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}897)}\approx12{,}75.\]
Vérification : \(1-0{,}897^{12}\approx0{,}729\lt 0{,}75\) et \(1-0{,}897^{13}\approx0{,}757\geq\,0{,}75\). Il faut donc contrôler au minimum 13 athlètes.
Exercice 2 :
1. Le début de l’année 2021 correspond à \(n=1\) :
\[u_1=0{,}75\times 0{,}6\times (1-0{,}15\times 0{,}6)=0{,}45\times 0{,}91=0{,}4095.\]
Le début de l’année 2022 correspond à \(n=2\) :
\[u_2=0{,}75\times 0{,}4095\times (1-0{,}15\times 0{,}4095)=0{,}307125\times 0{,}938575\approx0{,}2883.\]
Les nombres étant en milliers, le modèle prévoit environ 409 ou 410 individus au début de 2021 (\(409{,}5\) exactement) et environ 288 individus au début de 2022.
2. \(f\) est un polynôme, donc dérivable sur \([0~;~1]\). En développant, \(f(x)=0{,}75x-0{,}1125x^2\), d’où :
\[f^{\prime}(x)=0{,}75-0{,}225x.\]
Pour \(0\leq\, x\leq\,1\), on a \(0{,}225x\leq\,0{,}225\), donc \(f^{\prime}(x)\geq\,0{,}75-0{,}225=0{,}525\gt 0\). La dérivée est strictement positive, donc \(f\) est strictement croissante sur \([0~;~1]\). Avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=0{,}75\times 0{,}85=0{,}6375\), on obtient le tableau :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | |
|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | ||
| variations de \(f\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(0{,}6375\) |
3. Pour \(x\in[0~;~1]\) :
\[f(x)=x\iff0{,}75x-0{,}1125x^2-x=0\iff x(-0{,}25-0{,}1125x)=0.\]
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : \(x=0\) ou \(x=-\dfrac{0{,}25}{0{,}1125}=-\dfrac{20}{9}\). Cette seconde valeur est négative, donc n’appartient pas à \([0~;~1]\). L’équation a pour unique solution \(x=0\) dans \([0~;~1]\).
4. a. Notons \(\mathcal{P}_n\) la propriété « \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\) ».
Initialisation : \(u_0=0{,}6\) et \(u_1=0{,}4095\), donc \(0\leq\, u_1\leq\, u_0\leq\,1\) : \(\mathcal{P}_0\) est vraie.
Hérédité : supposons \(\mathcal{P}_n\) vraie pour un entier \(n\) quelconque, c’est-à-dire \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\). Tous ces nombres sont dans \([0~;~1]\), où \(f\) est croissante : appliquer \(f\) conserve donc l’ordre, et \(f(0)\leq\, f(u_{n+1})\leq\, f(u_n)\leq\, f(1)\), soit \(0\leq\, u_{n+2}\leq\, u_{n+1}\leq\,0{,}6375\leq\,1\). \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0\leq\, u_{n+1}\leq\, u_n\leq\,1\).
b. D’après la question précédente, la suite \((u_n)\) est décroissante (\(u_{n+1}\leq\, u_n\)) et minorée par 0. D’après le théorème de convergence monotone, la suite \((u_n)\) converge.
c. Soit \(\ell\) sa limite. Tous les termes sont dans \([0~;~1]\), donc \(\ell\in[0~;~1]\). La fonction \(f\) est continue sur \([0~;~1]\) (c’est un polynôme) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) : en passant à la limite, \(\ell=f(\ell)\). D’après la question 3, la seule solution de cette équation dans \([0~;~1]\) est 0, donc \(\ell=0\).
5. a. Puisque \((u_n)\) tend vers 0, tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. En particulier, avec l’intervalle \(]-0{,}02~;~0{,}02[\), il existe un rang à partir duquel \(u_n\lt 0{,}02\), c’est-à-dire moins de 20 individus. Selon ce modèle, l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction : le biologiste a raison.
b. La fonction calcule les termes successifs de la suite tant que \(u\) reste strictement supérieur à \(0{,}02\), en comptant les étapes dans \(n\) ; elle renvoie donc le premier indice \(n\) tel que \(u_n\leq\,0{,}02\). (Dans un vrai programme Python, les nombres s’écrivent avec un point : 0.6, 0.02, 0.75, 0.15.) Les valeurs successives, arrondies à \(10^{-4}\), sont :
| \(n\) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_n\) | 0,1102 | 0,0813 | 0,0602 | 0,0448 | 0,0333 | 0,0249 | 0,0186 |
Comme \(u_{10}\approx0{,}0249\gt 0{,}02\) et \(u_{11}\approx0{,}0186\leq\,0{,}02\), l’appel menace() renvoie 11.
Interprétation : \(n=11\) correspond à l’année \(2020+11=2031\). Selon ce modèle, la population passe pour la première fois à 20 individus ou moins au début de l’année 2031 (environ 19 individus) : c’est à partir de cette date que l’espèce sera menacée d’extinction sur l’île.
Exercice 3 :
1. Utilisons les milieux. I est le milieu de [EF] et K celui de [AE]. Travaillons avec des vecteurs : \(\vec{\text{AI}}=\vec{\text{AE}}+\vec{\text{EI}}=\vec{\text{AE}}+\dfrac{1}{2}\vec{\text{AB}}\) et \(\vec{\text{KH}}=\vec{\text{KE}}+\vec{\text{EH}}=\dfrac{1}{2}\vec{\text{AE}}+\vec{\text{AD}}\).
Le vecteur \(\vec{\text{AI}}\) s’écrit sans \(\vec{\text{AD}}\) alors que \(\vec{\text{KH}}\) en contient ; comme \(\vec{\text{AB}}\), \(\vec{\text{AD}}\), \(\vec{\text{AE}}\) ne sont pas coplanaires, ces deux vecteurs ne peuvent pas être colinéaires. Autre façon de le voir : la droite (AI) est contenue dans le plan (ABF) de la face avant, la droite (KH) coupe ce plan uniquement au point K (H n’y est pas), et K n’est pas sur (AI) ; si les droites étaient parallèles, (KH) serait parallèle à un plan qu’elle coupe en un seul point, ce qui est impossible. Les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
2. a. Dans le repère \((\text{A}~;~\vec{\text{AB}},~\vec{\text{AD}},~\vec{\text{AE}})\) : \(\text{A}(0~;~0~;~0)\), \(\text{B}(1~;~0~;~0)\), \(\text{C}(1~;~1~;~0)\), \(\text{E}(0~;~0~;~1)\), \(\text{F}(1~;~0~;~1)\). En prenant les moyennes des coordonnées des extrémités :
\[\text{I}(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1)\quad\text{et}\quad\text{J}(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0).\]
b. On a \(\vec{\text{IJ}}(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1)\), \(\vec{\text{AE}}(0~;~0~;~1)\) et \(\vec{\text{AC}}(1~;~1~;~0)\). On remarque que
\[\dfrac{1}{2}\vec{\text{AC}}-\vec{\text{AE}}=(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~0)-(0~;~0~;~1)=(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1)=\vec{\text{IJ}}.\]
\(\vec{\text{IJ}}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{\text{AE}}\) et \(\vec{\text{AC}}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.
3. Un vecteur directeur de \(d_1\) est \(\vec{u_1}(1~;~-2~;~3)\) et un vecteur directeur de \(d_2\) est \(\vec{u_2}(1~;~1~;~2)\). Les premières coordonnées sont égales (1 et 1) mais pas les deuxièmes (\(-2\) et 1) : s’il existait un réel \(k\) avec \(\vec{u_2}=k\vec{u_1}\), on aurait \(k=1\) puis \(1=-2\), ce qui est faux. Les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : \(d_1\) et \(d_2\) ne sont pas parallèles.
4. D’après son équation, le plan \(\mathcal{P}\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(1~;~3~;~-2)\). Calculons :
\[\vec{u_2}\cdot\vec{n}=1\times 1+1\times 3+2\times (-2)=1+3-4=0.\]
Le vecteur directeur de \(d_2\) est orthogonal à un vecteur normal du plan, donc \(d_2\) est parallèle au plan \(\mathcal{P}\). On peut préciser : le point \((4~;~1~;~8)\) de \(d_2\) vérifie \(4+3-16+2=-7\neq0\), il n’est pas dans \(\mathcal{P}\), donc \(d_2\) est strictement parallèle à \(\mathcal{P}\).
5. Deux conditions sont à vérifier : L appartient à \(\mathcal{P}\), et la droite (ML) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).
- \(4+3\times 0-2\times 3+2=4-6+2=0\) : les coordonnées de L vérifient l’équation, donc \(\text{L}\in\mathcal{P}\).
- \(\vec{\text{LM}}(5-4~;~3-0~;~1-3)=(1~;~3~;~-2)=\vec{n}\) : le vecteur \(\vec{\text{LM}}\) est normal au plan, donc (LM) est orthogonale à \(\mathcal{P}\).
L est donc le projeté orthogonal de M sur le plan \(\mathcal{P}\).
Exercice A :
Affirmation 1 : fausse. Par les propriétés de l’exponentielle, \((\text{e}^{a+b})^2=\text{e}^{2(a+b)}=\text{e}^{2a}\times \text{e}^{2b}\), un produit et non une somme. Contre-exemple : avec \(a=b=0\), le membre de gauche vaut \((\text{e}^0)^2=1\) et celui de droite \(\text{e}^0+\text{e}^0=2\).
Affirmation 2 : vraie. \(f(0)=-2+3\times \text{e}^0=1\). Par la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\), \(f^{\prime}(x)=-\text{e}^x+(3-x)\text{e}^x=(2-x)\text{e}^x\), donc \(f^{\prime}(0)=2\). La tangente en A a pour équation \(y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)\), soit \(y=2x+1\).
Affirmation 3 : fausse. On factorise : \(\text{e}^{2x}-\text{e}^x=\text{e}^x(\text{e}^x-1)\). Quand \(x\to+\infty\), \(\text{e}^x\to+\infty\) et \(\text{e}^x-1\to+\infty\), donc le produit tend vers \(+\infty\) ; de plus \(\dfrac{3}{x}\to0\). Par somme, la limite vaut \(+\infty\), et non 0.
Affirmation 4 : vraie. Soit \(h(x)=1-x+\text{e}^{-x}\) sur \([0~;~2]\). \(h\) est dérivable et \(h^{\prime}(x)=-1-\text{e}^{-x}\lt 0\) : \(h\) est continue et strictement décroissante. De plus \(h(0)=1-0+1=2\gt 0\) et \(h(2)=-1+\text{e}^{-2}\approx-0{,}865\lt 0\). Comme 0 est compris entre \(h(2)\) et \(h(0)\), le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(h(x)=0\) admet une unique solution sur \([0~;~2]\).
Affirmation 5 : vraie. \(g\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(g^{\prime}(x)=2x-5+\text{e}^x\) et \(g^{\prime\prime}(x)=2+\text{e}^x\). Comme \(\text{e}^x\gt 0\), on a \(g^{\prime\prime}(x)\gt 2\gt 0\) pour tout réel \(x\) : \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
Exercice B :
1. Le point A(1 ; 4) appartient à \(\mathcal{C}_f\), donc \(f(1)=4\). La tangente en A est horizontale, son coefficient directeur est nul : \(f^{\prime}(1)=0\).
2. On écrit \(f=\dfrac{u}{v}\) avec \(u(x)=a+b\ln x\), \(u^{\prime}(x)=\dfrac{b}{x}\), \(v(x)=x\), \(v^{\prime}(x)=1\). Alors, pour \(x\gt 0\) :
\[f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v(x)^2}=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-(a+b\ln x)}{x^2}=\dfrac{b-a-b\ln x}{x^2}.\]
3. Avec \(\ln1=0\) : \(f(1)=\dfrac{a+0}{1}=a\), donc \(a=4\). Et \(f^{\prime}(1)=\dfrac{b-a-0}{1}=b-a\), donc \(b-a=0\), soit \(b=a=4\). Ainsi \(a=4\) et \(b=4\).
4. En 0 : \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), donc \(\lim\limits_{x\to0^+}(4+4\ln x)=-\infty\) ; et \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) (l’axe des ordonnées est asymptote verticale).
En \(+\infty\) : on écrit \(f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times \dfrac{\ln x}{x}\). On a \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0\) et, par croissance comparée, \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\). Donc \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0\) (l’axe des abscisses est asymptote horizontale).
5. D’après la question 2 avec \(a=b=4\) : \(f^{\prime}(x)=\dfrac{4-4-4\ln x}{x^2}=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\). Comme \(x^2\gt 0\), \(f^{\prime}(x)\) a le signe de \(-4\ln x\) : positif si \(0\lt x\lt 1\) (car \(\ln x\lt 0\)), nul en 1, négatif si \(x\gt 1\). Le maximum est \(f(1)=4\).
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | || | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
| variations de \(f\) | || \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(4\) | \(\searrow\) | \(0\) |
6. On dérive \(f^{\prime}(x)=\dfrac{-4\ln x}{x^2}\) comme un quotient, avec \(u(x)=-4\ln x\), \(u^{\prime}(x)=-\dfrac{4}{x}\), \(v(x)=x^2\), \(v^{\prime}(x)=2x\) :
\[f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{-\dfrac{4}{x}\times x^2-(-4\ln x)\times 2x}{x^4}=\dfrac{-4x+8x\ln x}{x^4}=\dfrac{x(-4+8\ln x)}{x^4}=\dfrac{-4+8\ln x}{x^3}.\]
7. Pour \(x\gt 0\), \(x^3\gt 0\), donc \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(-4+8\ln x\). Or \(-4+8\ln x\gt 0\iff\ln x\gt \dfrac{1}{2}\iff x\gt \text{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\text{e}}\) (la fonction exponentielle est strictement croissante).
Ainsi \(f^{\prime\prime}\) est strictement négative sur \(]0~;~\sqrt{\text{e}}[\) (\(f\) concave) et strictement positive sur \(]\sqrt{\text{e}}~;~+\infty[\) (\(f\) convexe). \(f^{\prime\prime}\) s’annule en changeant de signe uniquement en \(x=\sqrt{\text{e}}\) : la courbe possède donc un unique point d’inflexion, d’abscisse \(\sqrt{\text{e}}\approx1{,}649\). Son ordonnée vaut
\[f(\sqrt{\text{e}})=\dfrac{4+4\times \dfrac{1}{2}}{\sqrt{\text{e}}}=\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}}\approx3{,}639.\]
Le point d’inflexion est \(\text{B}(\sqrt{\text{e}}~;~\dfrac{6}{\sqrt{\text{e}}})\), soit environ \((1{,}649~;~3{,}639)\).
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