Contrôle de maths spé : DS de réduction des endomorphismes

Notations. Dans tout le problème, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\) et \(n \geq\, 2\) est un entier. Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on note \(\chi_A = \det(X I_n – A)\) son polynôme caractéristique, \(\mu_A\) son polynôme minimal, et \((e_1, \ldots, e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{K}^n\), identifié à \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\).

Soit \(P = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0\) un polynôme unitaire de \(\mathbb{K}[X]\). Sa matrice compagnon est :

\[C_P = \begin{pmatrix} 0 0 \cdots 0 -a_0 \\ 1 0 \cdots 0 -a_1 \\ 0 1 \ddots \vdots \vdots \\ \vdots \ddots \ddots 0 -a_{n-2} \\ 0 \cdots 0 1 -a_{n-1} \end{pmatrix}.\]

Ainsi \(C_P e_k = e_{k+1}\) pour \(1 \leq\, k \leq\, n-1\), et la dernière colonne de \(C_P\) contient \(-a_0, \ldots, -a_{n-1}\). Les quatre parties se suivent ; vous pouvez admettre le résultat d’une question pour traiter les suivantes.

Exercice 1 : Partie I : polynôme caractéristique d’une matrice compagnon (5 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

1. En effectuant l’opération \(L_1 arrow L_1 + X L_2 + X^2 L_3 + \cdots + X^{n-1} L_n\) sur la matrice \(X I_n – C_P\), démontrez que \(\chi_{C_P} = P\). (1,5 point)
2. Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(C_P\). Démontrez que le rang de \(C_P – \lambda I_n\) vaut \(n – 1\), puis que le vecteur \(V_\lambda = (1, \lambda, \lambda^2, \ldots, \lambda^{n-1})^{T}\) est un vecteur propre de la transposée \(C_P^{T}\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que \(C_P\) est diagonalisable si et seulement si \(P\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{K}\). (1 point)
4. Calculez \(C_P^{k} e_1\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n-1\). Démontrez qu’aucun polynôme non nul de degré au plus \(n-1\) n’annule \(C_P\), puis que \(\mu_{C_P} = \chi_{C_P} = P\). (1 point)

Exercice 2 : Partie II : trigonalisation d’un exemple (5 points)

Dans cette partie, \(n = 3\), \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) et \(P = (X – 1)^2 (X – 2)\). On note \(C = C_P\).

1. Développez \(P\) et écrivez la matrice \(C\). Justifiez, sans calcul supplémentaire, que \(C\) n’est pas diagonalisable. (1 point)
2. Déterminez une matrice \(Q \in GL_3(\mathbb{R})\) telle que
   \[Q^{-1} C Q = T = \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix}.\]
   Vous chercherez les colonnes \(v_1, v_2, v_3\) de \(Q\) en traduisant l’égalité \(CQ = QT\). (2 points)
3. Soit \(k \in \mathbb{N}\). Déterminez le reste \(R_k\) de la division euclidienne de \(X^k\) par \(P\), puis exprimez \(C^k\) comme combinaison linéaire de \(I_3\), \(C – I_3\) et \((C – I_3)^2\). Justifiez le passage du polynôme à la matrice. (2 points)

Exercice 3 : Partie III : l’endomorphisme de multiplication à gauche (5 points)

On revient au cas général. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On définit \(\varphi_A : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) par \(\varphi_A(M) = AM\). On admet que \(\varphi_A\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

1. Démontrez que, pour tout \(Q \in \mathbb{K}[X]\) et toute matrice \(M\), \(Q(\varphi_A)(M) = Q(A) M\). Déduisez-en que \(\varphi_A\) et \(A\) ont les mêmes polynômes annulateurs, donc le même polynôme minimal. (1,5 point)
2. Déduisez-en que \(\varphi_A\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) l’est. (1 point)
3. Démontrez que \(\varphi_A\) et \(A\) ont le même spectre. Pour \(\lambda\) valeur propre, décrivez le sous-espace propre de \(\varphi_A\) associé à \(\lambda\) à l’aide des colonnes de \(M\), et donnez sa dimension en fonction de \(\dim \ker(A – \lambda I_n)\). (1,5 point)
4. On note \(E_{ij}\) les matrices élémentaires. Écrivez la matrice de \(\varphi_A\) dans la base \((E_{11}, E_{21}, \ldots, E_{n1}, E_{12}, \ldots, E_{n2}, \ldots, E_{1n}, \ldots, E_{nn})\), puis démontrez que \(\chi_{\varphi_A} = (\chi_A)^n\). (1 point)

Exercice 4 : Partie IV : lemme des noyaux et commutant (5 points)

On reprend la matrice \(C\) de la partie II, avec \(n = 3\) et \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\), et l’on note \(\varphi = \varphi_C\).

1. Donnez le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de \(\varphi\). (1 point)
2. L’endomorphisme \(\varphi\) est-il diagonalisable ? Donnez la dimension de chacun de ses sous-espaces propres. (1 point)
3. Justifiez que \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) = \ker(\varphi – \mathrm{id})^2 \oplus \ker(\varphi – 2\,\mathrm{id})\). Calculez \((C – I_3)^2\), puis décrivez chacun de ces deux sous-espaces et donnez leur dimension. (1,5 point)
4. Démontrez que le commutant \(\mathcal{C}(C) = \{M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) : CM = MC\}\) est égal à \(\mathbb{R}[C]\), et qu’il est de dimension \(3\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : DS de réduction des endomorphismes

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Éléments propres » en maths spé et « Diagonalisation et trigonalisation » en maths spé et « Polynômes d’endomorphismes » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés éléments propres, diagonalisation et trigonalisation, polynômes d’endomorphismes.

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