Contrôle de maths spé : séries numériques et sommation des équivalents

Exercice 1 : Question de cours : sommation des relations de comparaison (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Soient \((u_n)\) une suite réelle et \((v_n)\) une suite de réels positifs, telles que \(u_n \sim v_n\). Pour une série convergente \(\sum w_n\), on note \(R_n(w) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} w_k\) son reste ; on note \(S_n(w) = \sum_{k=0}^{n} w_k\) la somme partielle.

1. Énoncez le théorème de sommation des équivalents, dans le cas où \(\sum v_n\) converge puis dans le cas où elle diverge. (1 point)
2. Démontrez le cas convergent. (1,5 point)
3. Démontrez le cas divergent. (1,5 point)

Exercice 2 : Nature de séries par d’Alembert et équivalents (4 points)

Déterminez la nature des séries suivantes, en justifiant soigneusement.

1. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} \frac{n!}{n^n}\) (1 point)
2. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \frac{(2n)!}{(n!)^2\, 5^n}\) (1 point)
3. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} (1 – \cos\frac{1}{n})\) (1 point)
4. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} \frac{a^n}{n}\), selon la valeur du réel \(a > 0\). (1 point)

Exercice 3 : Comparaison série-intégrale (4 points)

1. Soit \(f : t \mapsto \dfrac{1}{t \ln t}\) sur \([2, +\infty[\). Démontrez que \(f\) est décroissante, puis encadrez \(S_n = \sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k \ln k}\) à l’aide d’intégrales. Déduisez-en que la série \(\sum \frac{1}{k \ln k}\) diverge et que \(S_n \sim \ln(\ln n)\). (2,5 points)
2. Pour \(n \geq\, 1\), on note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2}\). Démontrez que \(\dfrac{1}{n+1} \leq\, R_n \leq\, \dfrac{1}{n}\), puis donnez un équivalent de \(R_n\). (1,5 point)

Exercice 4 : Série alternée et produit de Cauchy (3 points)

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(a_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\).

1. Démontrez que la série \(\sum a_n\) converge. (1 point)
2. Est-elle absolument convergente ? (0,5 point)
3. On note \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k a_{n-k}\) le terme général du produit de Cauchy de \(\sum a_n\) par elle-même. Démontrez que \(|c_n| \geq\, \dfrac{2(n+1)}{n+2}\), puis que \(\sum c_n\) diverge. Quelle hypothèse du théorème sur le produit de Cauchy est en défaut ? (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : développement asymptotique de la série harmonique (5 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}\) et \(u_n = H_n – \ln n\). Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(w_n = u_n – u_{n-1}\).

1. Démontrez que \(w_n = \dfrac{1}{n} + \ln(1 – \dfrac{1}{n})\), puis que \(w_n \sim -\dfrac{1}{2n^2}\). Déduisez-en que la suite \((u_n)\) converge. On note \(\gamma\) sa limite (constante d’Euler). (1,5 point)
2. Exprimez \(u_n – \gamma\) comme le reste d’une série, puis démontrez que \(u_n – \gamma \sim \dfrac{1}{2n}\). Vous citerez précisément le théorème utilisé et vous utiliserez l’exercice 3. Écrivez le développement asymptotique de \(H_n\) obtenu. (2 points)
3. Déduisez-en que \(\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} = \ln 2 – \dfrac{1}{4n} + o(\dfrac{1}{n})\). (1 point)
4. Quelle est la nature de la série de terme général \(\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} – \ln 2\) ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : séries numériques et sommation des équivalents

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries numériques et vectorielles » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries numériques et vectorielles.

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