Espérance et variance : QCM de maths spé corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de l’espérance et de la variance en Maths Spé MP : existence, formule de transfert, covariance, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, jusqu’à la loi faible des grands nombres. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espérance, variance et loi faible des grands nombres du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Espérance et variance - QCM de maths spé

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\), laquelle de ces égalités (dans \([0,+\infty]\)) est vraie ?

A \(E(X) = \sum_{n \geqslant 1} P(X \geqslant n)\)

B \(E(X) = \sum_{n \geqslant 1} P(X > n)\)

C \(E(X) = \sum_{n \geqslant 1} n\,P(X \geqslant n)\)

D \(E(X) = \sum_{n \geqslant 0} P(X \geqslant n)\)

Question 2

Que vaut la variance de \(X \sim \mathcal{G}\left( \frac{1}{3} \right)\) ?

A \(\frac{2}{9}\)

B \(9\)

C \(6\)

D \(3\)

Question 3

Si \(X \sim \mathcal{P}(2)\), que vaut \(E(X^2)\) ?

A \(4\)

B \(8\)

C \(2\)

D \(6\)

Question 4

On a \(V(X) = 1\), \(V(Y) = 4\) et \(\mathrm{Cov}(X,Y) = -1\). Que vaut \(V(X+Y)\) ?

A \(5\)

B \(4\)

C \(3\)

D \(7\)

Question 5

Pour \(X\) admettant une variance et \(a > 0\), quel est l’énoncé de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

A \(P\left( |X - E(X)| \geqslant a \right) \geqslant 1 - \frac{V(X)}{a^2}\)

B \(P\left( |X - E(X)| \geqslant a \right) \leqslant \frac{V(X)}{a^2}\)

C \(P\left( |X - E(X)| \geqslant a \right) \leqslant \frac{\sigma(X)}{a^2}\)

D \(P\left( |X - E(X)| \geqslant a \right) \leqslant \frac{V(X)}{a}\)

Question 6

\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{-1,0,1\}\) et \(Y = X^2\). Que peut-on dire ?

A \(\mathrm{Cov}(X,Y) = 0\), mais \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes

B \(\mathrm{Cov}(X,Y) = 0\), donc \(X\) et \(Y\) sont indépendantes

C \(\mathrm{Cov}(X,Y) = E(X^2) = \frac{2}{3}\)

D \(\mathrm{Cov}(X,Y) \neq 0\), donc \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes

Question 7

\(X\) est à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\) avec \(P(X = n) = \frac{1}{n(n+1)}\). Que dire de son espérance ?

A \(E(X) = 2\), par la formule \(\sum P(X \geqslant n)\)

B \(X\) n’admet pas d’espérance finie

C \(E(X) = \ln 2\), par une série alternée

D \(E(X) = 1\), par télescopage

Question 8

\(X_1, \dots, X_n\) sont i.i.d. de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{2}\) et \(\overline{X}_n = \frac{1}{n}\sum X_k\). Quel majorant de \(P\left( \left| \overline{X}_n - \frac{1}{2} \right| \geqslant 0{,}1 \right)\) fournit Bienaymé-Tchebychev pour \(n = 1000\) ?

A \(0{,}25\)

B \(0{,}0025\)

C \(0{,}05\)

D \(0{,}025\)

Question 9

\(X\) est une variable positive d’espérance \(2\). Quel majorant de \(P(X \geqslant 10)\) donne l’inégalité de Markov ?

A \(\frac{1}{10}\)

B \(\frac{1}{5}\)

C \(\frac{1}{25}\)

D \(\frac{4}{5}\)

Question 10

Soit \(X\) une variable discrète et \(f\) une fonction définie sur \(X(\Omega)\) à valeurs réelles. À quelle condition \(f(X)\) admet-elle une espérance finie ?

A \(X\) admet une espérance finie

B La série \(\sum f(x_n)\,P(X = x_n)\) converge pour une énumération \((x_n)\) de \(X(\Omega)\)

C \(f\) est bornée sur \(X(\Omega)\)

D La famille \(\left( f(x)\,P(X = x) \right)_{x \in X(\Omega)}\) est sommable

🎉 QCM terminé !

0 / 10

Ce que vérifie ce QCM de espérance et variance en maths spé

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

l’existence de l’espérance via la sommabilité, et la formule de transfert ;
la formule \(E(X) = \sum_{n \geq\, 1} P(X \geq\, n)\) pour \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) ;
l’espérance et la variance des lois géométrique et de Poisson ;
la covariance et la variance d’une somme ;
les inégalités de concentration et la loi faible des grands nombres.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : déduire l’indépendance d’une covariance nulle. Si \(X\) est uniforme sur \(\{-1,0,1\}\) et \(Y = X^2\), \(\mathrm{Cov}(X,Y) = 0\) alors que \(Y\) est une fonction de \(X\).

Comment réviser avant de refaire le test

Avant tout calcul d’espérance, justifiez son existence (sommabilité de \(( x P(X=x) )\)), puis pensez à \(V(X) = E( X(X-1) ) + E(X) – E(X)^2\), souvent plus rapide pour les lois sur \(\mathbb{N}\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths spé

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Espaces probabilisés, Variables aléatoires discrètes, Fonctions génératrices, Isométries vectorielles. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths spé rassemble les 26 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

La loi faible des grands nombres demande-t-elle l’indépendance mutuelle ?

La démonstration par Bienaymé-Tchebychev n’utilise que la non-corrélation deux à deux et une variance commune finie ; le programme l’énonce pour une suite i.i.d. admettant un moment d’ordre \(2\).

Pourquoi l’inégalité de Markov demande-t-elle \(X \geq\, 0\) ?

On minore \(X\) par \(a\,\mathbf{1}_{(X \geq\, a)}\), ce qui n’est vrai que pour une variable positive ; sinon des valeurs très négatives peuvent compenser dans l’espérance.