QCM de maths spé : les 26 chapitres corrigés

Intersection de sous-groupes, sous-groupe engendré par une partie, partie génératrice d’un groupe, sous-groupes du groupe (Z, +).

Produit fini d’anneaux, idéal d’un anneau commutatif, idéal engendré par un élément, divisibilité dans un anneau intègre, noyau d’un morphisme.

Somme directe d’une famille finie de sous-espaces, projecteurs associés, matrices définies par blocs, opérations par blocs, déterminant d’une matrice triangulaire par blocs.

Endomorphisme et matrice diagonalisables, caractérisation par la somme des sous-espaces propres, cas de n valeurs propres distinctes.

Morphisme d’algèbres P ↦ P(u), idéal annulateur, sous-algèbre K[u], polynôme minimal d’un endomorphisme, d’une matrice.

Norme, espace vectoriel normé, distance associée, boules ouvertes, boules fermées, sphères, parties convexes, parties, suites et fonctions bornées.

Ouverts, fermés, voisinages, stabilité par réunion et intersection, point intérieur, point adhérent, intérieur, adhérence, frontière, caractérisation séquentielle des points adhérents et des fermés.

Partie compacte définie par la propriété de Bolzano-Weierstrass, une partie compacte est fermée et bornée, fermé d’un compact, produit fini de compacts.

Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie, sommes partielles, somme, restes, divergence grossière, lien suite-série, séries télescopiques.

Convergence simple d’une suite de fonctions, convergence uniforme, interprétation par la norme infinie, la convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Convergence simple et convergence uniforme d’une série de fonctions, convergence uniforme et restes, convergence normale, elle implique la convergence uniforme.

Série entière, lemme d’Abel, rayon de convergence, disque et intervalle ouverts de convergence, comparaison des rayons (O, o, équivalence).

Dérivabilité en un point, à droite, à gauche, par coordonnées, dérivée de L(f) pour L linéaire, dérivée de B(f, g) pour B bilinéaire, de M(f_1, …, f_p) multilinéaire.

Intégrale convergente sur [a, +∞[, sur un intervalle quelconque, intégrales de Riemann, intégrale de e^{−at}, cas des fonctions positives, théorème de comparaison.

Théorème de convergence dominée, hypothèse de domination par une fonction intégrable, extension à une famille à paramètre réel.

Fonction définie par une intégrale à paramètre, théorème de continuité sous hypothèse de domination, domination sur tout segment ou sur des intervalles adaptés.

Ensemble dénombrable, ensemble au plus dénombrable, dénombrabilité de N^p, Z, Q ; non-dénombrabilité de R, tribu, espace probabilisable.

Variable aléatoire discrète, loi P_X, variable f(X), loi conditionnelle sachant un événement, couple de variables aléatoires, loi conjointe, lois marginales.

Espérance d’une variable à valeurs dans [0, +∞], formule E(X) = Σ P(X ≥ n), variable d’espérance finie, espérance d’une variable complexe, formule de transfert.

Fonction génératrice G_X d’une variable à valeurs dans N, rayon de convergence au moins 1, convergence normale sur le disque unité fermé, la fonction génératrice détermine la loi.

Représentation des formes linéaires sur un espace euclidien, adjoint d’un endomorphisme, matrice en base orthonormée, stabilité de l’orthogonal d’un sous-espace stable par l’adjoint.

Endomorphisme autoadjoint (symétrique), u* = u, caractérisation par la matrice symétrique en base orthonormée, les projecteurs orthogonaux sont les projecteurs autoadjoints.

Équation différentielle linéaire x’ = a(t)·x + b(t), forme matricielle X’ = A(t)X + B(t), problème de Cauchy, mise sous forme intégrale, représentation d’une équation scalaire d’ordre n par un système.

Exponentielle d’un endomorphisme, d’une matrice, exponentielle d’une matrice diagonale, de matrices semblables, spectre de exp(A).

Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles dans une base, application différentiable, différentielle (application linéaire tangente), lien entre différentielle et dérivées partielles, matrice jacobienne.

Point critique, condition nécessaire d’extremum local en un point intérieur, extremum sur une partie et vecteurs tangents, optimisation sous une contrainte, extremums liés.