Ce QCM vérifie la maîtrise des intégrales généralisées en Maths Spé MP : convergence, intégrabilité par comparaison aux intégrales de Riemann, calculs par intégration par parties ou changement de variable, et intégration des relations de comparaison. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrales généralisées et fonctions intégrables du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Intégrales généralisées - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) l’intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}\) converge-t-elle ?
A\(\alpha > 0\)
B\(\alpha < 1\)
C\(\alpha \geqslant 1\)
D\(\alpha > 1\)
Question 2
Pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) l’intégrale \(\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}\) converge-t-elle ?
A\(\alpha \leqslant 1\)
B\(\alpha < 1\)
C\(\alpha > 1\)
D\(0 < \alpha < 1\) uniquement
Question 3
Soit \(a\) un réel. À quelle condition \(\int_0^{+\infty} e^{-at}\,dt\) converge-t-elle, et que vaut-elle alors ?
ASi et seulement si \(a > 0\), et elle vaut \(\frac{1}{a}\)
BSi et seulement si \(a < 0\), et elle vaut \(-\frac{1}{a}\)
CSi et seulement si \(a > 0\), et elle vaut \(a\)
DSi et seulement si \(a \geqslant 0\), et elle vaut \(\frac{1}{a}\)
Question 4
Que vaut \(\int_0^{+\infty} t\,e^{-2t}\,dt\) ?
A\(\frac{1}{2}\)
B\(2\)
C\(\frac{1}{4}\)
D\(\frac{1}{8}\)
Question 5
Pour quelles valeurs du réel \(\beta\) l’intégrale \(\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t\,(\ln t)^\beta}\) converge-t-elle ?
A\(\beta > 1\)
B\(\beta > 0\)
C\(\beta \geqslant 1\)
DPour aucune valeur de \(\beta\)
Question 6
Pour quelles valeurs du réel \(\alpha\) la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t^\alpha (1+t)}\) est-elle intégrable sur \(]0,+\infty[\) ?
A\(\alpha < 1\)
B\(\alpha > 1\)
C\(0 < \alpha < 1\)
D\(\alpha > 0\)
Question 7
Que peut-on dire de \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) ?
AElle diverge, car \(\frac{1}{t}\) n’est pas intégrable sur \([1,+\infty[\)
BElle converge, mais \(t \mapsto \frac{\sin t}{t}\) n’est pas intégrable sur \([1,+\infty[\)
C\(\frac{\sin t}{t}\) est intégrable, car \(\left| \frac{\sin t}{t} \right| \leqslant \frac{1}{t}\)
DElle converge absolument, car \(\frac{\sin t}{t}\) tend vers \(0\)
Question 8
Soit \(f\) continue, positive et intégrable sur \([0,+\infty[\). Que peut-on affirmer en toute généralité ?
A\(f(t) = o\left( \frac{1}{t} \right)\) en \(+\infty\)
B\(f\) est bornée sur \([0,+\infty[\)
C\(f\) tend vers \(0\) en \(+\infty\)
D\(f\) n’a pas nécessairement de limite en \(+\infty\)
Question 9
Soit \(f\) continue et positive sur \([1,+\infty[\) avec \(f(t) \sim \frac{1}{t^2}\) en \(+\infty\). Quel est un équivalent de \(\int_x^{+\infty} f(t)\,dt\) quand \(x \to +\infty\) ?
A\(\frac{1}{x^2}\)
B\(\frac{1}{x}\)
C\(\frac{1}{x^3}\)
D\(\frac{2}{x}\)
Question 10
Pour écrire \(\int_a^b f(t)\,dt = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,du\) avec des intégrales généralisées (\(f\) continue sur \(]a,b[\)), quelle hypothèse le programme demande-t-il sur \(\varphi\) ?
A\(\varphi\) de classe \(C^1\), bornée, à dérivée bornée sur \(]\alpha,\beta[\)
B\(\varphi\) continue et surjective de \(]\alpha,\beta[\) sur \(]a,b[\), sans monotonie
C\(\varphi\) bijective de \(]\alpha,\beta[\) sur \(]a,b[\), strictement croissante et de classe \(C^1\)
D\(\varphi\) de classe \(C^1\) sur \([\alpha,\beta]\), sans autre condition
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de intégrales généralisées en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les intégrales de Riemann \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}\) et \(\int_0^1 \frac{dt}{t^\alpha}\) ;
le théorème de comparaison pour les fonctions positives (majoration, équivalent) ;
la différence entre intégrale convergente et fonction intégrable ;
l’intégration par parties et le changement de variable sur un intervalle quelconque ;
l’intégration des relations de comparaison pour les restes et les intégrales partielles.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : croire qu’une fonction positive intégrable sur \([0,+\infty[\) tend forcément vers \(0\). C’est vrai pour le terme général d’une série convergente, mais faux pour une intégrale : des « pics » de plus en plus fins suffisent à fournir un contre-exemple.
Comment réviser avant de refaire le test
Commencez toujours par repérer les bornes à problème et cherchez un équivalent de l’intégrande en chacune d’elles : la comparaison à \(t^{-\alpha}\) règle l’immense majorité des cas en une ligne. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre « intégrale convergente » et « fonction intégrable » ?
Une fonction est intégrable quand \(\int_I |f|\) converge. Toute fonction intégrable a une intégrale convergente, mais la réciproque est fausse : \(\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt\) converge alors que \(\frac{\sin t}{t}\) n’est pas intégrable.
Peut-on faire une intégration par parties directement entre \(0\) et \(+\infty\) ?
Oui, à condition que le crochet \([ u v ]\) ait des limites finies aux bornes : alors les deux intégrales sont de même nature et l’égalité a lieu. Sinon, travaillez sur un segment \([a,x]\) puis passez à la limite.
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