Espaces probabilisés : QCM de maths spé corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces probabilisés en Maths Spé MP : ensembles dénombrables, tribus, \(\sigma\)-additivité, continuité monotone, systèmes quasi-complets, conditionnement et indépendance. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Ensembles dénombrables et espaces probabilisés du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Espaces probabilisés - QCM de maths spé

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Lequel de ces ensembles n’est pas dénombrable ?

A \(\mathbb{N}^3\)

B \(\mathbb{R}\)

C \(\mathbb{Q}\)

D \(\mathbb{Z} \times \mathbb{Q}\)

Question 2

Une tribu sur \(\Omega\) est une partie de \(\mathcal{P}(\Omega)\) qui contient \(\Omega\) et qui est stable par…

A passage au complémentaire et réunion dénombrable

B passage au complémentaire et réunion finie seulement

C réunion quelconque et intersection finie

D réunion et intersection dénombrables, sans complémentaire

Question 3

On lance indéfiniment une pièce, les lancers étant indépendants et \(P(\text{pile}) = p \in ]0,1[\). Quelle est la probabilité de n’obtenir jamais pile ?

A \(1-p\)

B \(p\)

C \(0\)

D \(\frac{1}{2}\)

Question 4

Soit \((A_n)_{n \geqslant 1}\) une suite décroissante d’événements avec \(P(A_n) = \frac{n+1}{2n}\). Que vaut \(P\left( \bigcap_{n \geqslant 1} A_n \right)\) ?

A \(\frac{1}{2}\)

B \(0\)

C \(1\)

D \(\frac{1}{4}\)

Question 5

Une maladie touche \(1\,\%\) d’une population. Un test est positif chez \(99\,\%\) des malades et chez \(5\,\%\) des personnes saines. Quelle est la probabilité d’être malade sachant que le test est positif ?

A \(\frac{1}{100}\)

B \(\frac{1}{6}\)

C \(\frac{99}{100}\)

D \(\frac{1}{20}\)

Question 6

Soit \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite d’événements tous de probabilité nulle. Que peut-on dire de \(\bigcup_{n} A_n\) ?

A Elle est de probabilité nulle seulement si les \(A_n\) sont deux à deux disjoints

B Elle peut être de probabilité \(1\), puisqu’il y a une infinité d’événements

C Ce n’est pas nécessairement un événement de la tribu

D Elle est de probabilité nulle, par sous-additivité dénombrable

Question 7

On lance deux pièces équilibrées. Soit \(A\) : « la première donne pile », \(B\) : « la seconde donne pile », \(C\) : « les deux résultats sont égaux ». Que dire de \(A\), \(B\), \(C\) ?

A \(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants

B Ils ne sont ni indépendants deux à deux, ni mutuellement indépendants

C Ils sont mutuellement indépendants

D Ils sont indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants

Question 8

Qu’appelle-t-on un système quasi-complet d’événements \((A_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ?

A Une suite d’événements dont la réunion est presque sûre, sans autre condition

B Une suite d’événements mutuellement indépendants dont les probabilités ont pour somme \(1\)

C Une suite d’événements deux à deux incompatibles dont les probabilités ont pour somme \(1\)

D Une suite d’événements deux à deux incompatibles de probabilités toutes non nulles

Question 9

Laquelle de ces applications est une bijection de \(\mathbb{N}^2\) sur \(\mathbb{N}\) ?

A \((p,q) \mapsto p + q\)

B \((p,q) \mapsto 2^p(2q+1)\)

C \((p,q) \mapsto 2^p 3^q\)

D \((p,q) \mapsto 2^p(2q+1) - 1\)

Question 10

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité que le premier pile apparaisse à un rang pair ?

A \(\frac{1}{4}\)

B \(\frac{1}{3}\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(\frac{2}{3}\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de espaces probabilisés en maths spé

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les ensembles dénombrables : \(\mathbb{N}^p\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), et la non-dénombrabilité de \(\mathbb{R}\) ;
la définition d’une tribu et d’une probabilité \(\sigma\)-additive ;
la continuité croissante et décroissante et la sous-additivité ;
les systèmes quasi-complets, les probabilités totales et la formule de Bayes ;
l’indépendance mutuelle d’une famille d’événements.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : confondre indépendance deux à deux et indépendance mutuelle. Trois événements peuvent être indépendants deux à deux sans l’être mutuellement, comme le montre l’exemple des deux pièces et de l’événement « mêmes résultats ».

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une probabilité d’événement « infini » (jamais, au moins une fois, à partir d’un certain rang), écrivez-le comme réunion croissante ou intersection décroissante d’événements simples, puis passez à la limite par continuité monotone. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths spé

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Convergence dominée, Intégrales à paramètre, Variables aléatoires discrètes, Espérance et variance. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths spé rassemble les 26 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi ne pas prendre \(\mathcal{P}(\Omega)\) comme tribu dans tous les cas ?

Pour un univers dénombrable, on peut. Pour modéliser une suite infinie de lancers, l’univers n’est pas dénombrable et on ne sait pas définir une probabilité raisonnable sur toutes ses parties : on se contente d’une tribu plus petite, admise par le programme.

Quelle différence entre un événement négligeable et l’événement impossible ?

Un événement négligeable est de probabilité nulle mais peut être non vide : obtenir face à tous les lancers d’une suite infinie est possible, mais de probabilité \(0\).