Corrigé du contrôle de maths 1ère : équations de cercles et géométrie repérée

Exercice 1 : Écrire l’équation d’un cercle (3 points)

Rappel : le cercle de centre \(\Omega(a \,;\, b)\) et de rayon \(r\) a pour équation \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).

1. \(\mathcal{C}_1 : (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9\).
2. Pour \(P(2 \,;\, 2)\) : \((2-2)^2 + (2+1)^2 = 0 + 9 = 9\). Donc \(P \in \mathcal{C}_1\).
   Pour \(Q(4 \,;\, 1)\) : \((4-2)^2 + (1+1)^2 = 4 + 4 = 8\) et \(8 \neq 9\). Donc \(Q \notin \mathcal{C}_1\). De plus, comme \(8 < 9\), \(\Omega Q < 3\) : \(Q\) est à l’intérieur du cercle.
3. Le rayon est \(r = AB\) : \(AB^2 = (3 – (-1))^2 + (0 – 3)^2 = 16 + 9 = 25\), donc \(r = 5\).
   Ainsi, \(\mathcal{C}_2 : (x+1)^2 + (y-3)^2 = 25\).

Erreur fréquente : écrire \((x-2)^2 + (y-1)^2\) pour le centre \((2 \,;\, -1)\). Or il faut \(y – (-1) = y + 1\).

Barème : a) 1 point. Puis b) 0,5 point par point étudié. Enfin, c) 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour l’équation.

Exercice 2 : Reconnaître un cercle (4 points)

On complète les carrés avec \(x^2 + 2kx = (x+k)^2 – k^2\).

1. \(x^2 – 6x = (x-3)^2 – 9\) et \(y^2 + 4y = (y+2)^2 – 4\).
   L’équation devient donc \((x-3)^2 – 9 + (y+2)^2 – 4 – 12 = 0\), soit \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 25\).
   C’est le cercle de centre \((3 \,;\, -2)\) et de rayon 5.
2. \(x^2 + 2x = (x+1)^2 – 1\) et \(y^2 – 8y = (y-4)^2 – 16\).
   L’équation devient alors \((x+1)^2 – 1 + (y-4)^2 – 16 + 20 = 0\), soit \((x+1)^2 + (y-4)^2 = -3\).
   Or une somme de carrés est positive ou nulle : elle ne peut pas valoir \(-3\).
   L’ensemble est donc vide.
3. Avec les mêmes carrés : \((x+1)^2 – 1 + (y-4)^2 – 16 + 17 = 0\), soit \((x+1)^2 + (y-4)^2 = 0\).
   Une somme de deux carrés est nulle si et seulement si chacun est nul. Donc \(x = -1\) et \(y = 4\).
   Ainsi, l’ensemble est réduit au point \((-1 \,;\, 4)\).

Barème : a) 1 point pour la forme canonique, 0,5 point pour le centre, 0,5 point pour le rayon. Puis b) 0,5 point pour la forme canonique, 0,5 point pour la conclusion justifiée. Enfin, c) même répartition.

Exercice 3 : Le cercle de diamètre [AB] (4 points)

1. Pour \(M(x \,;\, y)\) : \(\vec{MA}(-1 – x \,;\, 2 – y)\) et \(\vec{MB}(5 – x \,;\, -2 – y)\).
   \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = (-1 – x)(5 – x) + (2 – y)(-2 – y) = (x+1)(x-5) + (y-2)(y+2)\).
   \(= x^2 – 5x + x – 5 + y^2 – 4 = x^2 + y^2 – 4x – 9\).
   Donc \(M \in \Gamma\) si et seulement si \(x^2 + y^2 – 4x – 9 = 0\).
2. \(x^2 – 4x = (x-2)^2 – 4\), donc l’équation s’écrit \((x-2)^2 – 4 + y^2 – 9 = 0\). Ainsi, \((x-2)^2 + y^2 = 13\) : cercle de centre \((2 \,;\, 0)\) et de rayon \(\sqrt{13}\).
   Le milieu de \([AB]\) est \(I(\dfrac{-1 + 5}{2} \,;\, \dfrac{2 – 2}{2}) = I(2 \,;\, 0)\). De plus, \(AB = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\), donc \(\dfrac{AB}{2} = \sqrt{13}\).
   \(\Gamma\) est donc bien le cercle de centre \(I\) et de rayon \(\dfrac{AB}{2}\) : le cercle de diamètre \([AB]\).
3. Pour \(C(0 \,;\, 3)\) : \(0^2 + 3^2 – 4 \times 0 – 9 = 9 – 9 = 0\). \(C \in \Gamma\).
   Donc \(\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0\) : les droites \((CA)\) et \((CB)\) sont perpendiculaires.
   Ainsi, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\).

Barème : a) 0,5 point pour les coordonnées des vecteurs, 1 point pour le développement. Puis b) 0,5 point pour la forme canonique, 0,5 point pour la vérification avec \(I\) et \(AB\). Enfin, c) 0,5 point pour le calcul, 1 point pour la conclusion justifiée.

Exercice 4 : Un cercle et une droite (5 points)

1. Un point \(M(x \,;\, y)\) est commun à \(\mathcal{C}\) et \(d\) si et seulement si \(y = x + 2\) et \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\).
   Puis, en remplaçant \(y\) : \((x-1)^2 + (x + 2 – 2)^2 = 25\), soit \(x^2 – 2x + 1 + x^2 = 25\).
   Alors \(2x^2 – 2x – 24 = 0\), et en divisant par 2 : \(x^2 – x – 12 = 0\).
2. \(\Delta = (-1)^2 – 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49 = 7^2\).
   Donc \(x_1 = \dfrac{1 + 7}{2} = 4\) et \(x_2 = \dfrac{1 – 7}{2} = -3\).
   Ensuite, avec \(y = x + 2\) : pour \(x = 4\), \(y = 6\) ; pour \(x = -3\), \(y = -1\).
   \(T(4 \,;\, 6)\) et \(S(-3 \,;\, -1)\). Contrôle : \((4-1)^2 + (6-2)^2 = 9 + 16 = 25\) et \((-4)^2 + (-3)^2 = 25\).
3. En remplaçant \(y\) par \(x + 10\) : \((x-1)^2 + (x+8)^2 = 25\). Cela donne \(x^2 – 2x + 1 + x^2 + 16x + 64 = 25\).
   Donc \(2x^2 + 14x + 40 = 0\), soit \(x^2 + 7x + 20 = 0\).
   Or \(\Delta = 7^2 – 4 \times 1 \times 20 = 49 – 80 = -31 < 0\) : l’équation n’a pas de solution réelle.
   La droite \(d^{\prime}\) ne coupe donc pas le cercle \(\mathcal{C}\).

Erreur fréquente : oublier le double produit en développant \((x+8)^2\) et écrire \(x^2 + 64\).

Barème : a) 0,5 point pour la mise en système, 1 point pour la substitution et le développement, 0,5 point pour l’équation finale. Puis b) 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour les abscisses, 0,5 point pour les ordonnées. Enfin, c) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 5 : La tangente en un point (4 points)

1. \(\vec{\Omega T}(4 – 1 \,;\, 6 – 2)\), soit \(\vec{\Omega T}(3 \,;\, 4)\). La tangente est perpendiculaire à \((\Omega T)\). Donc \(\vec{\Omega T}\) en est un vecteur normal : \(\mathcal{T} : 3x + 4y + c = 0\).
   Or \(T \in \mathcal{T}\) : \(3 \times 4 + 4 \times 6 + c = 0\), soit \(36 + c = 0\), donc \(c = -36\).
   \(\mathcal{T} : 3x + 4y – 36 = 0\).
2. Sur l’axe des abscisses, \(y = 0\) : \(3x – 36 = 0\), donc \(x = 12\).
   Ainsi, \(\mathcal{T}\) coupe l’axe des abscisses au point \((12 \,;\, 0)\).
3. \(3 \times 8 + 4 \times 3 – 36 = 24 + 12 – 36 = 0\) : \(R \in \mathcal{T}\).
   Puis \(TR = \sqrt{(8-4)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\). De même, \(\Omega R = \sqrt{(8-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}\).
   Alors \(\Omega T^2 + TR^2 = 25 + 25 = 50 = \Omega R^2\).
   L’égalité de Pythagore est vérifiée : le triangle \(\Omega TR\) est donc rectangle en \(T\). Cela confirme que la tangente est perpendiculaire au rayon \([\Omega T]\).

Barème : a) 0,5 point pour \(\vec{\Omega T}\), 0,5 point pour le vecteur normal justifié, 1 point pour l’équation. Puis b) 0,5 point. Enfin, c) 0,5 point pour l’appartenance, 0,5 point pour les deux longueurs, 0,5 point pour la vérification de Pythagore.

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