Contrôle de maths 1ère : signe du trinôme, inéquations et problèmes

Exercice 1 : Un tableau de signes (4 points)

Calculatrice autorisée pour tout le sujet. Toutes les réponses doivent être justifiées par un calcul.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -2x^2 + 2x + 12\).

1. Calculer le discriminant de \(f(x)\) et déterminer ses racines. (1,5 point)
2. En déduire une forme factorisée de \(f(x)\), puis dresser le tableau de signes de \(f(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (1,5 point)
3. Donner l’ensemble des solutions de l’inéquation \(f(x) > 0\), puis celui de l’inéquation \(f(x) \leq\, 0\). (1 point)

Exercice 2 : Des inéquations (5 points)

1. \(m\) désigne un nombre réel. Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles l’équation \(x^2 + 6x + m = 0\) admet deux solutions réelles distinctes. (1 point)
2. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(x^2 + x + 1 \leq\, 0\). (1 point)
3. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(3x^2 \geq\, 5x + 2\). (1,5 point)
4. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \((1 – x)(x^2 – 5x + 6) < 0\), à l’aide d’un tableau de signes. (1,5 point)

Exercice 3 : Parabole et droite (4 points)

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la parabole \(\mathcal{P}\) d’équation \(y = x^2 – 3x + 1\) et la droite \(d\) d’équation \(y = x – 2\).

1. Démontrer que les abscisses des points d’intersection de \(\mathcal{P}\) et \(d\) sont les solutions de l’équation \(x^2 – 4x + 3 = 0\). (1 point)
2. Résoudre cette équation et en déduire les coordonnées des points d’intersection. Vérifier sur le graphique. (1,5 point)
3. Étudier, par le calcul, la position relative de \(\mathcal{P}\) et de \(d\). (1,5 point)

Exercice 4 : L’enclos de Maëlle (3,5 points)

Maëlle dispose de 40 mètres de grillage pour fabriquer un enclos rectangulaire pour ses poules, adossé à un mur. Le grillage n’est posé que sur les trois côtés qui ne longent pas le mur. On note \(x\) la longueur, en mètres, des deux côtés perpendiculaires au mur, avec \(0 < x < 20\).

1. Exprimer en fonction de \(x\) la longueur du côté parallèle au mur, puis montrer que l’aire de l’enclos, en \(\text{m}^2\), est \(A(x) = -2x^2 + 40x\). (1 point)
2. Maëlle souhaite une aire d’au moins \(150\text{ m}^2\). Déterminer les valeurs de \(x\) possibles. (1,5 point)
3. Déterminer la valeur de \(x\) qui rend l’aire maximale, les dimensions de l’enclos correspondant et son aire. (1 point)

Exercice 5 : La balle de Noé (3,5 points)

Du haut d’une tour d’observation, Noé lance une balle vers le haut. On admet que la hauteur de la balle au-dessus du sol, en mètres, \(t\) secondes après le lancer, est \(h(t) = -5t^2 + 10t + 15\), pour \(t \geq\, 0\) et jusqu’à ce que la balle touche le sol.

1. De quelle hauteur la balle est-elle lancée ? (0,5 point)
2. Au bout de combien de temps la balle touche-t-elle le sol ? (1,5 point)
3. Pendant combien de temps la balle est-elle à une hauteur supérieure ou égale à sa hauteur de départ ? (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : signe du trinôme, inéquations et problèmes

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Equations et inéquations du second degré » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations et inéquations du second degré.

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