Contrôle de maths 2de : probabilités conditionnelles, arbres pondérés

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Exercice 1 sans calculatrice. Calculatrice autorisée pour les exercices 2 à 5.

Donne directement la réponse, sans justification sauf à la question h.

1. On donne \(P(A) = 0{,}4\) et \(P_A(B) = 0{,}5\). Calcule \(P(A \cap B)\). (0,5 point)
2. On donne \(P_A(B) = 0{,}3\). Donne \(P_A(\overline{B})\). (0,5 point)
3. Dans une classe de 25 élèves, 10 font partie de l’association sportive et, parmi eux, 4 font du football. Quelle est la fréquence des footballeurs parmi les élèves de l’association sportive ? (0,5 point)
4. Calcule \(0{,}3 \times 0{,}6\). (0,5 point)
5. Sur un arbre pondéré, deux branches partent du nœud \(A\) : l’une vers \(B\), de probabilité \(0{,}25\), l’autre vers \(\overline{B}\). Quelle probabilité porte la branche vers \(\overline{B}\) ? (0,5 point)
6. On donne \(P(A \cap B) = 0{,}12\) et \(P(A) = 0{,}4\). Calcule \(P_A(B)\). (0,5 point)
7. Dans un club, \(30\,\%\) des adhérents sont mineurs et \(20\,\%\) des mineurs font de la compétition. Quel pourcentage des adhérents sont des mineurs qui font de la compétition ? (0,5 point)
8. Vrai ou faux : « pour tous événements \(A\) et \(B\) de probabilités non nulles, \(P_A(B) = P_B(A)\) ». (0,5 point)

Exercice 2 : Demi-pension et distance au lycée (4 points)

Un lycée accueille 500 élèves de seconde. Chacun est soit demi-pensionnaire, soit externe, et habite soit à moins de 5 km du lycée, soit à 5 km ou plus. Le tableau croisé suivant est incomplet.

On choisit un élève de seconde au hasard. On note \(D\) l’événement « l’élève est demi-pensionnaire » et \(M\) l’événement « l’élève habite à moins de 5 km du lycée ».

1. Recopie et complète le tableau. (1 point)
2. Calcule \(P(D)\) et \(P(D \cap M)\). (0,75 point)
3. Calcule \(P_D(M)\) et traduis ce résultat par une phrase. (0,75 point)
4. Calcule \(P_M(D)\), arrondie au millième. (0,75 point)
5. Kenzo affirme : « Les élèves qui habitent loin sont plus souvent demi-pensionnaires que ceux qui habitent près. » Justifie ou contredis cette affirmation à l’aide de probabilités conditionnelles. (0,75 point)

Exercice 3 : Le service de Lina (4 points)

Au tennis, Lina réussit sa première balle de service dans \(60\,\%\) des cas. Quand sa première balle est réussie, elle gagne le point avec une probabilité de \(0{,}75\). Quand elle rate sa première balle, elle joue une deuxième balle et gagne alors le point avec une probabilité de \(0{,}45\).

On choisit au hasard un point joué sur le service de Lina. On note \(R\) l’événement « la première balle est réussie » et \(G\) l’événement « Lina gagne le point ».

1. Recopie et complète l’arbre pondéré ci-dessus. (1,25 point)
2. Calcule la probabilité que la première balle soit réussie et que Lina gagne le point. (0,75 point)
3. Calcule \(P(\overline{R} \cap G)\). (0,75 point)
4. En lisant l’arbre, déduis-en la probabilité que Lina gagne le point. (0,5 point)
5. Lina a gagné le point. Quelle est la probabilité que sa première balle ait été réussie ? Arrondis au centième. (0,75 point)

Exercice 4 : Un test de dépistage (5 points)

Une maladie touche \(2\,\%\) d’une population. Un laboratoire propose un test de dépistage dont la notice indique :

• si la personne est malade, le test est positif dans \(95\,\%\) des cas (c’est la sensibilité du test) ;
• si la personne n’est pas malade, le test est négatif dans \(90\,\%\) des cas.

On choisit une personne au hasard dans la population et on lui fait passer le test. On note \(M\) l’événement « la personne est malade » et \(T\) l’événement « le test est positif ».

1. Construis un arbre pondéré décrivant cette situation. (1 point)
2. Calcule \(P(M \cap T)\). (0,5 point)
3. Montre que la probabilité que le test soit positif est \(0{,}117\). (1 point)
4. Un faux positif est une personne non malade dont le test est positif ; un faux négatif est une personne malade dont le test est négatif. Calcule la probabilité de chacun de ces deux cas. (1 point)
5. Le test d’Anaïs est positif. Calcule la probabilité qu’elle soit malade, c’est-à-dire \(P_T(M)\), arrondie au centième. (1 point)
6. Un journal titre : « Avec ce test fiable à \(95\,\%\), un résultat positif signifie qu’on est malade dans \(95\,\%\) des cas. » Explique l’erreur commise. (0,5 point)

Exercice 5 : De l’arbre au tableau croisé (3 points)

Dans un supermarché, on choisit un client au hasard à la caisse. On note \(C\) l’événement « le client paie par carte bancaire » et \(F\) l’événement « le client possède la carte de fidélité du magasin ». La situation est décrite par l’arbre pondéré suivant.

1. Un jour, 1 000 clients sont passés en caisse et leur répartition correspond exactement à cet arbre. Recopie et complète le tableau croisé d’effectifs suivant. (1,5 point)
   

   	Fidélité \(F\)	Sans fidélité \(\overline{F}\)	Total
   Carte bancaire \(C\)
   Autre paiement \(\overline{C}\)
   Total			1 000

2. Déduis-en \(P(F)\). (0,5 point)
3. Un client possède la carte de fidélité. Quelle est la probabilité qu’il paie par carte bancaire ? Arrondis au millième. (1 point)

Réviser avant le contrôle : probabilités conditionnelles, arbres pondérés

Avant de faire ce contrôle, entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.

Retrouve tous les contrôles de maths en 2de classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 2de sur ce thème

• Contrôle de maths 2de : probabilités sur un univers fini
• Contrôle de maths 2de : statistiques et probabilités conditionnelles

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 2dePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 2de à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗