Ce contrôle de maths de 2de porte sur le thème suivant : milieux, distances et preuves dans un repère.
Ce sujet te fait démontrer en géométrie avec des coordonnées. Après quelques questions flash sans calculatrice, tu calcules des coordonnées de milieux et des distances pour prouver qu’un quadrilatère est un parallélogramme, puis un losange, et pour savoir s’il est un rectangle.
Tu utilises ensuite la réciproque de Pythagore dans un repère, le cercle circonscrit à un triangle rectangle et l’appartenance d’un point à un cercle. Le dernier exercice te demande de construire un carré et de le démontrer. Soigne la rédaction : chaque conclusion doit s’appuyer sur une propriété citée.
- Niveau : 2de
- Chapitre : Géométrie plane et repérée
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 3 points ; exercice 2 : 6 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 3 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : coordonnées d’un milieu et distance entre deux points dans un repère orthonormé
- Raisonner : démontrer la nature d’un triangle ou d’un quadrilatère avec les propriétés adaptées
- Représenter : lire et exploiter une figure placée dans un repère
- Communiquer : rédiger une démonstration complète en citant chaque propriété
Exercice 1 : Automatismes dans un repère (3 points)
Calculatrice interdite pour l’exercice 1, autorisée pour les suivants.
Dans tout le sujet, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O\,;\vec{i}, \vec{j})\).
- Calculer les coordonnées du milieu du segment \([EF]\), avec \(E(3\,;-2)\) et \(F(-1\,;6)\). (0,5 point)
- Calculer la longueur \(EF\) et l’écrire sous la forme \(a\sqrt{b}\), avec \(a\) et \(b\) entiers et \(b\) le plus petit possible. (0,5 point)
- Le point \(I(0\,;1)\) est le milieu du segment \([EG]\). Calculer les coordonnées du point \(G\). (1 point)
- Le point \(T(0\,;-4)\) est-il à égale distance des points \(U(3\,;0)\) et \(V(-3\,;0)\) ? (1 point)
Exercice 2 : La nature d’un quadrilatère (6 points)
On considère les points \(A(-2\,;1)\), \(B(2\,;4)\), \(C(6\,;1)\) et \(D(2\,;-2)\), placés dans le repère ci-dessous.
- Calculer les coordonnées des milieux des diagonales \([AC]\) et \([BD]\). En déduire que \(ABCD\) est un parallélogramme. (1,5 point)
- Calculer les longueurs \(AB\) et \(BC\). En déduire que \(ABCD\) est un losange. (1,5 point)
- Calculer les longueurs \(AC\) et \(BD\). Le quadrilatère \(ABCD\) est-il un rectangle ? Un carré ? (1,5 point)
- Justifier que les diagonales sont perpendiculaires, puis calculer l’aire du losange \(ABCD\) en unités d’aire. (1,5 point)
Exercice 3 : Un triangle rectangle et son cercle (4 points)
On considère les points \(E(-3\,;-2)\), \(F(3\,;1)\) et \(G(1\,;5)\).
- Calculer les valeurs exactes des longueurs \(EF\), \(FG\) et \(EG\). (1,5 point)
- Démontrer que le triangle \(EFG\) est rectangle. Est-il isocèle ? (1,5 point)
- Déterminer les coordonnées du centre et la valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle \(EFG\). (1 point)
Exercice 4 : Des points sur un cercle (3 points)
Le cercle \(\mathcal{C}\) a pour centre \(\Omega(2\,;-1)\) et pour rayon 5.
- Démontrer que le point \(M(5\,;3)\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\). (1 point)
- Le point \(N(-2\,;2)\) appartient-il à \(\mathcal{C}\) ? Le segment \([MN]\) est-il un diamètre de \(\mathcal{C}\) ? (1 point)
- Calculer les coordonnées du point \(M^{\prime}\) de \(\mathcal{C}\) diamétralement opposé à \(M\). (1 point)
Exercice 5 : Construire un carré (4 points)
On considère les points \(K(-1\,;3)\), \(L(3\,;5)\) et \(M(5\,;1)\). On pourra faire une figure.
- Démontrer que le triangle \(KLM\) est rectangle et isocèle en \(L\). (2 points)
- Soit \(I\) le milieu de \([KM]\) et \(N\) le symétrique de \(L\) par rapport à \(I\). Calculer les coordonnées de \(I\) et de \(N\), puis démontrer que \(KLMN\) est un carré. (2 points)
Réviser avant le contrôle : milieux, distances et preuves dans un repère
Retrouve tous les contrôles de maths en 2de classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.
