Voici le corrigé du contrôle de maths de 2de sur le thème : milieux, distances et preuves dans un repère.
Cette correction montre la rédaction attendue d’une démonstration dans un repère : on calcule, puis on cite la propriété, puis on conclut. Pour la nature d’un quadrilatère, on procède par étapes, du parallélogramme au losange ou au rectangle, et enfin au carré.
Chaque formule est appliquée en détail, avec les parenthèses autour des nombres négatifs. C’est en effet là que se glissent la plupart des erreurs. Les valeurs exactes sont simplifiées sous la forme \(a\sqrt{b}\), et une figure illustre le carré construit dans le dernier exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 2de : milieux, distances et preuves dans un repère.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Automatismes dans un repère | 3 points |
| Exercice 2 : La nature d’un quadrilatère | 6 points |
| Exercice 3 : Un triangle rectangle et son cercle | 4 points |
| Exercice 4 : Des points sur un cercle | 3 points |
| Exercice 5 : Construire un carré | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Automatismes dans un repère (3 points)
- \((\dfrac{3 + (-1)}{2}\,;\dfrac{-2 + 6}{2}) = (1\,;2)\). Le milieu de \([EF]\) est donc le point \((1\,;2)\).
- \(EF = \sqrt{(-1 – 3)^2 + (6 – (-2))^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5}\). Donc \(EF = 4\sqrt{5}\).
- \(I\) est le milieu de \([EG]\). Donc \(x_I = \dfrac{x_E + x_G}{2}\) et \(y_I = \dfrac{y_E + y_G}{2}\).
Ainsi, \(0 = \dfrac{3 + x_G}{2}\), donc \(x_G = -3\). De même, \(1 = \dfrac{-2 + y_G}{2}\), donc \(y_G = 4\).
\(G(-3\,;4)\). - D’une part, \(TU = \sqrt{(3 – 0)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{25} = 5\). D’autre part, \(TV = \sqrt{(-3 – 0)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{25} = 5\).
Oui, \(TU = TV = 5\) : \(T\) est à égale distance de \(U\) et \(V\). Il est donc sur la médiatrice de \([UV]\).
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,25 point pour \(\sqrt{80}\), 0,25 point pour \(4\sqrt{5}\) ; c) 0,5 point par coordonnée ; d) 0,5 point pour les deux distances, 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 2 : La nature d’un quadrilatère (6 points)
- Milieu de \([AC]\) : \((\dfrac{-2 + 6}{2}\,;\dfrac{1 + 1}{2}) = (2\,;1)\).
Milieu de \([BD]\) : \((\dfrac{2 + 2}{2}\,;\dfrac{4 + (-2)}{2}) = (2\,;1)\).
Les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu. Or, si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. Donc \(ABCD\) est un parallélogramme. - D’abord, \(AB = \sqrt{(2 + 2)^2 + (4 – 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
Ensuite, \(BC = \sqrt{(6 – 2)^2 + (1 – 4)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\).
\(ABCD\) est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. Or, un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Donc \(ABCD\) est un losange.
Questions c et d : rectangle, diagonales et aire
- On a \(AC = \sqrt{(6 + 2)^2 + (1 – 1)^2} = \sqrt{64} = 8\). De plus, \(BD = \sqrt{(2 – 2)^2 + (-2 – 4)^2} = \sqrt{36} = 6\).
Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales ont la même longueur. Ici \(AC \neq BD\) : \(ABCD\) n’est donc pas un rectangle, et ce n’est pas non plus un carré. - \(A\) et \(C\) ont la même ordonnée 1 : \((AC)\) est donc parallèle à l’axe des abscisses. De même, \(B\) et \(D\) ont la même abscisse 2 : \((BD)\) est parallèle à l’axe des ordonnées. Or le repère est orthonormé, donc les axes sont perpendiculaires. Par conséquent, les diagonales \((AC)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires (ce qui est bien le cas dans un losange).
L’aire d’un losange est égale au demi-produit de ses diagonales : \(\dfrac{AC \times BD}{2} = \dfrac{8 \times 6}{2} = 24\).
L’aire de \(ABCD\) est de 24 unités d’aire.
Erreur fréquente : conclure « losange » après avoir seulement montré \(AB = BC\), sans avoir d’abord prouvé que \(ABCD\) est un parallélogramme. En effet, un quadrilatère avec deux côtés consécutifs égaux n’est pas forcément un losange.
Barème : a) 0,5 point par milieu, 0,5 point pour la propriété et la conclusion ; b) 0,5 point par longueur, 0,5 point pour la conclusion justifiée ; c) 0,5 point par longueur, 0,5 point pour la conclusion justifiée ; d) 0,75 point pour la perpendicularité justifiée, 0,75 point pour l’aire.
Exercice 3 : Un triangle rectangle et son cercle (4 points)
- \(EF = \sqrt{(3 + 3)^2 + (1 + 2)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).
\(FG = \sqrt{(1 – 3)^2 + (5 – 1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
\(EG = \sqrt{(1 + 3)^2 + (5 + 2)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\).
\(EF = 3\sqrt{5}\), \(FG = 2\sqrt{5}\) et \(EG = \sqrt{65}\). - Le plus grand côté est \([EG]\). On a \(EG^2 = 65\) et \(EF^2 + FG^2 = 45 + 20 = 65\).
Ainsi, \(EG^2 = EF^2 + FG^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(EFG\) est donc rectangle en \(F\).
De plus, les trois longueurs sont différentes deux à deux, donc le triangle n’est pas isocèle. - Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse. Son centre est donc le milieu de \([EG]\) :
\((\dfrac{-3 + 1}{2}\,;\dfrac{-2 + 5}{2}) = (-1\,;1{,}5)\).
Le centre est le point \((-1\,;1{,}5)\) et le rayon est \(\dfrac{EG}{2} = \dfrac{\sqrt{65}}{2}\).
Barème : a) 0,5 point par longueur exacte ; b) 1 point pour la réciproque de Pythagore avec la conclusion « rectangle en \(F\) », 0,5 point pour « non isocèle » ; c) 0,25 point pour la propriété, 0,5 point pour le centre, 0,25 point pour le rayon.
Exercice 4 : Des points sur un cercle (3 points)
- \(\Omega M = \sqrt{(5 – 2)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\). \(\Omega M\) est égal au rayon, donc \(M\) appartient à \(\mathcal{C}\).
- \(\Omega N = \sqrt{(-2 – 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\) : \(N\) appartient donc à \(\mathcal{C}\).
Le milieu de \([MN]\) est \((\dfrac{5 – 2}{2}\,;\dfrac{3 + 2}{2}) = (1{,}5\,;2{,}5)\). Or ce point n’est pas \(\Omega\). \([MN]\) n’est donc pas un diamètre de \(\mathcal{C}\). - \(M^{\prime}\) est diamétralement opposé à \(M\). Ainsi, \(\Omega\) est le milieu de \([MM^{\prime}]\).
Donc \(x_{M^{\prime}} = 2x_{\Omega} – x_M = 4 – 5 = -1\). De même, \(y_{M^{\prime}} = 2y_{\Omega} – y_M = -2 – 3 = -5\).
\(M^{\prime}(-1\,;-5)\). Vérification : \(\Omega M^{\prime} = \sqrt{9 + 16} = 5\).
Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour l’appartenance de \(N\), 0,5 point pour le diamètre (le calcul \(MN = \sqrt{50} \neq 10\) est aussi accepté) ; c) 0,5 point par coordonnée.
Exercice 5 : Construire un carré (4 points)
- \(KL = \sqrt{(3 + 1)^2 + (5 – 3)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\).
\(LM = \sqrt{(5 – 3)^2 + (1 – 5)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\).
\(KM = \sqrt{(5 + 1)^2 + (1 – 3)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}\).
\(KL = LM\), donc le triangle est isocèle en \(L\). De plus, \([KM]\) est le plus grand côté et \(KL^2 + LM^2 = 20 + 20 = 40 = KM^2\). Ainsi, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, il est rectangle en \(L\).
Le triangle \(KLM\) est rectangle et isocèle en \(L\). - \(I(\dfrac{-1 + 5}{2}\,;\dfrac{3 + 1}{2})\), soit \(I(2\,;2)\).
\(N\) est le symétrique de \(L\) par rapport à \(I\), donc \(I\) est le milieu de \([LN]\). Ainsi, \(x_N = 2 \times 2 – 3 = 1\) et \(y_N = 2 \times 2 – 5 = -1\). \(N(1\,;-1)\).
Les diagonales \([KM]\) et \([LN]\) du quadrilatère \(KLMN\) ont le même milieu \(I\) : c’est donc un parallélogramme.
Ce parallélogramme a un angle droit en \(L\) : c’est donc un rectangle.
Il a de plus deux côtés consécutifs de même longueur, \(LK = LM\) : c’est aussi un losange.
Un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré : \(KLMN\) est donc un carré.
Barème : a) 0,75 point pour les trois longueurs, 0,5 point pour « isocèle », 0,75 point pour « rectangle » avec la réciproque de Pythagore ; b) 0,25 point pour \(I\), 0,5 point pour \(N\), 1,25 point pour la démonstration complète (parallélogramme, angle droit, côtés consécutifs égaux).
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